China National Olympiad 2025

2025China Download

Từ Grok: Review sách “Blockchain Basics: A Non-Technical Introduction in 25 Steps” của Daniel Drescher

Tổng quan về sách

“Blockchain Basics: A Non-Technical Introduction in 25 Steps” (tạm dịch: “Cơ bản về Blockchain: Giới thiệu không kỹ thuật qua 25 bước”) là một cuốn sách được viết bởi Daniel Drescher, một chuyên gia trong lĩnh vực ngân hàng và công nghệ, với mục tiêu giải thích các khái niệm phức tạp về blockchain một cách dễ hiểu cho người không có nền tảng kỹ thuật. Cuốn sách được xuất bản vào năm 2017 bởi Apress Business và nhanh chóng trở thành một tài liệu tham khảo phổ biến cho những ai muốn tìm hiểu về công nghệ blockchain mà không cần đi sâu vào các chi tiết kỹ thuật như toán học, lập trình hay mật mã học. Với cấu trúc gồm 25 bước, cuốn sách dẫn dắt người đọc qua các khái niệm cơ bản, ứng dụng thực tiễn và những hạn chế của blockchain, sử dụng các phép ẩn dụ, ví dụ và hình ảnh minh họa để làm rõ ý tưởng.

Daniel Drescher, tác giả của cuốn sách, là một người có kinh nghiệm lâu năm trong lĩnh vực giao dịch chứng khoán điện tử tại các ngân hàng, đồng thời ông cũng sở hữu bằng Tiến sĩ Kinh tế lượng từ Đại học Kỹ thuật Berlin và Thạc sĩ Kỹ thuật Phần mềm từ Đại học Oxford. Với nền tảng học vấn và kinh nghiệm thực tiễn, Drescher mang đến một góc nhìn vừa sâu sắc vừa dễ tiếp cận về blockchain, một công nghệ đang ngày càng trở nên phổ biến trong nhiều lĩnh vực như tài chính, chuỗi cung ứng và quản trị.

Continue reading →

Bulgaria National Olympiad 2025

2025Bulgaria Download

Viet Nam TST 2025/1

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lời giải của bài 1 trong kỳ thi chọn đội IMO 2025 của Việt Nam.

VNTST2025/1. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ sao cho với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ , ta có

$\displaystyle\frac{f(x)f(y)}{f(xy)}=\frac{(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)})^2}{f(x+y)}.$

Lời giải. Trả lời: $f(x)=4,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ hoặc $f(x)=x^2,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ . Kiểm tra ta thấy hai hàm số này thỏa mãn các yêu cầu của đề bài, sau đây ta chứng minh không còn hàm số nào khác.

Giả sử $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ là một hàm số thỏa mãn các yêu cầu của đề bài. Khi đó với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ ,

$\displaystyle\frac{f(x)f(y)}{f(xy)}=\frac{(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)})^2}{f(x+y)}.\quad\quad (1)$

Gọi $S$ là tập các số thực dương có dạng $\sqrt{r}$ , trong đó $r$ là một số hữu tỷ dương. Xét hàm số $g:\mathbb{Q}^+\to S$ xác định bởi $g(x)=\sqrt{f(x)}$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ . Từ $(1)$ ta được

$\displaystyle\frac{g(x)g(y)}{g(xy)}=\frac{g(x)+g(y)}{g(x+y)}$

với mọi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ . (2)

Từ $(2)$ , với $x=y=1$ ta thu được $g(2)=2$ . Cũng từ $(2)$ , với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ ta có $(g(x)+g(y))^2$ là một số hữu tỷ. Suy ra $g(x)g(y)$ là một số hữu tỷ với mọi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ . Nói riêng, khi $y=2$ ta có $g(x)$ là một số hữu tỷ dương với mọi số hữu tỷ dương $x$ . Trong $(2)$ , chọn $y=2$ và $x=3$ ta có

$\displaystyle\frac{2g(3)}{g(6)}=\frac{g(3)+2}{g(5)}.\quad (3)$

Cũng từ $(2)$ , với $y=1$ ta có

$\displaystyle g(x+1)=\frac{1}{g(1)}g(x)+1$

với mọi số hữu tỷ dương $x$ . (4)

Từ đây ta tính được cả ba số $g(3)$ , $g(5)$ và $g(6)$ theo $g(1)$ . Thay lại $(3)$ và chú ý $g(1)$ là một số hữu tỷ dương ta có $g(1)\in \{1;2\}$ . Đến đây ta xét từng trường hợp.

Trường hợp 1: $g(1)=2$ .

Bằng quy nạp theo $n$ , từ (4) ta có $g(n)=2$ và

$\displaystyle g(x+n)=\frac{1}{2^n}g(x)+2-\frac{1}{2^{n-1}}$

với mọi số nguyên dương $n$ và số hữu tỷ dương $x$ . (5)

Bây giờ xét một số hữu tỷ dương $r$ . Tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $rn$ là một số nguyên dương. Với các số $n$ này, từ (2) ta có

$\displaystyle g(r)=\frac{g(r)+2}{g(r+n)}.$

Như vậy $g(r+n)$ không đổi, kết hợp với (5) ta có $g(r)=2$ . Suy ra $g(x)=2$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ .

Trường hợp 2: $g(1)=1$ .

Bằng quy nạp theo $n$ , từ (4) ta có $g(n)=n$ và

$g(x+n)=g(x)+n$ với mọi số nguyên dương $n$ và số hữu tỷ dương $x$ . (6)

Bây giờ xét một số hữu tỷ dương $r$ . Tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $rn$ là một số nguyên dương. Trong (2), chọn $x=r$ và $y=n$ , đồng thời dùng (6) ta có $g(r)=r$ . Suy ra $g(x)=x$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ .