European Mathematical Cup 2023

Cúp Toán học Châu Âu (viết tắt là EMC) là một cuộc thi toán trung học do Hiệp hội các nhà Toán học trẻ tài năng Croatia Marin Getaldić (www.mnm.hr) tổ chức với sự hợp tác của nhiều giáo sư uy tín.

EMC thường diễn ra vào tháng 12 và các thí sinh có thể làm bài online. Sau cuộc thi, ban tổ chức địa phương sẽ gửi bản scan các bài giải của học sinh cho ban tổ chức EMC để chấm. Họ cũng có thể tự chấm các bài làm của học sinh. Kết quả chính thức sẽ được công bố trên trang web sớm nhất có thể sau khi tất cả các bài thi được chấm điểm.

Cuộc thi được chia thành hai hạng: Junior (học sinh dưới 17 tuổi vào ngày diễn ra cuộc thi và chưa từng tham gia IMO) và Senior (học sinh trung học khác hoặc học sinh tiểu học xuất sắc). Học sinh đáp ứng đủ tiêu chí để tham gia hạng Junior có thể chọn tham gia hạng Senior.

Thời lượng của cuộc thi cho cả hai hạng là 4 giờ. Trong thời gian đó, học sinh sẽ cố gắng giải 4 bài toán, mỗi bài toán thuộc một trong các lĩnh vực: đại số, tổ hợp, hình học và lý thuyết số. Theo mô hình của các cuộc thi quốc tế khác như IMO, các công cụ duy nhất được phép sử dụng trong cuộc thi là các công cụ viết và vẽ. Việc sử dụng các công thức, máy tính bỏ túi và các công cụ khác bị cấm. Về mặt kiến thức, các bài toán tương tự như các bài toán IMO, mặc dù các bài toán thuộc hạng Junior thường cơ bản hơn và ít yêu cầu kiến thức hơn.

Dưới đây là đề EMC 2023 hạng Senior:

Bài 1. Tìm tất cả các tập số thực $S$ sao cho:

(a) $1$ là phần tử nhỏ nhất của $S$ , và

(b) với mỗi $x,y\in S$ , nếu $x>y$ thì $\sqrt{x^2-y^2}\in S$ .

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ với $\angle BAC = 90^{\circ}$ . Đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ lần lượt tiếp xúc với ${BC}$ , ${CA}$ , ${AB}$ tại $D$ , $E$ , $F$ . Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng ${EF}$ . Ký hiệu $P$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$ và $K$ là giao điểm của $MP$ và $AD$ . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AFE$ và $PDK$ có bán kính bằng nhau.

Bài 3. Cho $n$ là một số nguyên dương. Gọi $B_n$ là tập hợp tất cả các xâu nhị phân có độ dài $n$ . Đối với xâu nhị phân $s_1s_2\ldots s_n$ , ta định nghĩa xoắn của nó là xâu nhị phân độ dài $n$ được xác định theo cách sau. Đầu tiên, ta đếm xem nó có bao nhiêu khối chữ số liên tiếp. Ký hiệu số này là $b$ . Sau đó, chúng ta thay $s_b$ bằng $1-s_b$ . Xâu $a$ được gọi là hậu duệ của xâu $b$ nếu $a$ có thể thu được từ $b$ thông qua một số hữu hạn lần xoắn. Một tập con của $B_n$ được gọi là bị chia nếu không có hai phần tử nào trong số các phần tử của nó có hậu duệ chung. Tìm số lượng phần tử lớn nhất có thể có của một tập con bị chia của $B_n$ .

Một ví dụ về xoắn: $101100 \rightarrow 101000$ vì $1\mid 0\mid 11\mid 00$ có $4$ khối chữ số liên tiếp.

Bài 4. Cho một hàm số $f\colon\mathbb{N}^*\rightarrow\mathbb{N}^*$ có tính chất: với mỗi số nguyên dương $x$ và $y$ , số $f(x)+y$ là số chính phương khi và chỉ khi số $x+f(y)$ là số chính phương. Chứng minh rằng $f$ là một đơn ánh.

Nguồn: https://emc.mnm.hr/

International Mathematics Tournament of the Towns, Spring 2024

Kỳ thi Toán quốc tế giữa các thành phố là một kỳ thi học sinh giỏi môn Toán có quy mô quốc tế được tổ chức lần đầu tiên tại Nga vào năm 1980. Cho đến nay, mỗi năm, kỳ thi được tổ chức tại hơn 100 thành phố ở hơn 25 quốc gia trên toàn thế giới. Điều đặc biệt của kỳ thi là học sinh được làm bài tại thành phố của mình, do đó giảm thiểu tối đa các chi phí phát sinh. Bài làm của các thí sinh sẽ được Ban tổ chức tại địa phương chấm và gửi kết quả về Ban tổ chức Trung ương tại Nga. Mỗi năm, có hơn 1000 thí sinh đạt tiêu chuẩn được cấp Bằng chứng nhận từ Viện Hàn lâm Khoa học Nga (Russian Academy of Sciences).

Nhằm thúc đẩy phong trào dạy và học Toán theo xu hướng hội nhập quốc tế, năm 2015, kỳ thi ITOT được tổ chức lần đầu tiên tại Việt Nam do Trung tâm Nghiên cứu và Ứng dụng Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội làm đại diện chính thức của kỳ thi tại Việt Nam.

Từ năm 2024, Công ty TNHH Giáo dục VSO là đơn vị đại diện chính thức phối hợp với Viện Hàn lâm Khoa học Nga để tổ chức các kỳ thi ITOT tại Việt Nam. Kỳ thi được tổ chức hằng năm, mỗi năm hai vòng vào mùa thu (khoảng tháng mười) và mùa xuân (khoảng tháng ba). Học sinh có thể tham gia vào một trong hai hoặc cả hai vòng, tùy theo điều kiện địa phương.

1. Mục đích của kỳ thi

Kỳ thi Toán quốc tế giữa các thành phố giúp cho học sinh có cơ hội tham gia một kỳ thi chuẩn quốc tế. Mục đích chính của kỳ thi là góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có năng khiếu. Bên cạnh đó, kỳ thi còn cung cấp cho giáo viên và những người tổ chức địa phương một nguồn tài liệu chất lượng cao.

2. Cơ quan tổ chức:

Công ty TNHH Giáo dục VSO

Đơn vị triển khai: Vietnam Math Circle

3. Thời gian, địa điểm tổ chức kỳ thi ITOT45 mùa xuân

– Thời gian: Ngày thi cấp độ O: 23/03/2024

Ngày thi cấp độ A: 24/03/2024

– Địa điểm: Trường Tiểu học, THCS và THPT Thực nghiệm Khoa học Giáo dục, 50 P. Liễu Giai, Cống Vị, Ba Đình, Hà Nội

4. Đối tượng dự thi

– Cấp THCS: Học sinh khối lớp 7, 8 và 9;

– Cấp THPT: Học sinh khối lớp 10, 11 và 12.

5. Hình thức thi

Thí sinh thi tập trung tại điểm thi. Thông tin về các phòng thi và danh sách học sinh sẽ được ban tổ chức công bố trên website trước ngày 22/03/2024.

Nguồn: https://www.mathcircle.edu.vn/ITOTSpring2024

Vietnam Math Circle

Vietnam Math Circle là một chương trình phi lợi nhuận.

Mục tiêu của chương trình là giúp các em học sinh hiểu về bản chất của Toán học, học giỏi Toán, và ứng dụng các kiến thức Toán trong học tập và công việc hàng ngày. Cụ thể:

Chuẩn bị cho học sinh kiến thức và kĩ năng để tham gia các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.
Giới thiệu cho học sinh về một thế giới Toán học mở và giúp các em phát triển tiềm năng/khả năng của bản thân.
Giới thiệu cho học sinh về vẻ đẹp của Toán học thông qua các chủ đề cụ thể.
Giúp học sinh hiểu về các công việc liên quan đến Toán học và ứng dụng Toán học trong tương lai.

Chương trình bắt đầu nhận hồ sơ từ 06/02/2024. Hạn đăng ký là 31/03/2024.

Chúng tôi hi vọng đạt được những mục tiêu này thông qua:

Chương trình học được thiết kế và giảng dạy bởi các chuyên gia/nhà nghiên cứu/thầy cô có nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy ở Việt Nam và nước ngoài.
Tạo ra một môi trường học tập vui vẻ, thân thiện, và giúp các em cảm thấy yêu thích mỗi khi được học tại Vietnam Math Circle.
Hình thức học tập bao gồm cả trực tiếp (với học sinh nội thành Hà Nội) và trực tuyến (với học sinh ngoại thành Hà Nội và các tỉnh thành khác).
Tổ chức kỳ thi đánh giá chất lượng giữa kỳ và cuối kỳ. Học sinh qua bài kiểm tra cuối kỳ sẽ được chuyển lên cấp học tiếp theo.
Những học sinh vượt khó, học giỏi trên các tỉnh thành sẽ được đăng ký xét Học bổng Vietnam Math Circle để tham gia chương trình học.
Các học sinh xuất sắc nhất của Vietnam Math Circle sẽ được tham gia trường hè với những bài giảng chuyên sâu từ các thầy trong Hội đồng chuyên môn.
Tổ chức kỳ thi học sinh giỏi Vietnam Math Circle hàng năm vào tháng 8.
Cung cấp cho học sinh những lời khuyên, định hướng học tập, cũng như những định hướng công việc trong tương lai.

Đây là một chương trình hấp dẫn. Các bạn có thể tìm hiểu thêm về chương trình này ở đường dẫn https://www.mathcircle.edu.vn/

Naive definition of probability

Phép thử ngẫu nhiên, hay phép thử, là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện, và khả năng xảy ra của các kết quả là như nhau. Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Kết quả thuận lợi cho một biến cố (sự kiện) $\displaystyle E$ liên quan đến phép thử $\displaystyle T$ là kết quả của phép thử $\displaystyle T$ làm cho biến cố $\displaystyle E$ xảy ra. Trong bài này ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu là một tập hợp hữu hạn.

Ví dụ 1. Tung một đồng xu, ta thấy có thể xảy ra một trong hai kết quả sấp ( $\displaystyle S$ ) hoặc ngửa ( $\displaystyle N$ ). Phép thử ngẫu nhiên ở đây là tung một đồng xu, không gian mẫu của phép thử là tập hợp $\displaystyle \Omega =\{S, N\}$ . Ta có thể để ý xem các biến cố sau có xảy ra không?

kết quả của phép thử là $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử không là $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử là $\displaystyle S$ hoặc $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử là $\displaystyle S$ và $\displaystyle N$ . $\Box$

Ví dụ 2. Xét phép thử ngẫu nhiên: tung một đồng xu bốn lần. Ta thấy một kết quả là $\displaystyle SNNS$ , và không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các dãy gồm $\displaystyle 4$ chữ cái thuộc $\displaystyle \{S,N\}$ . Chúng ta có thể mã hóa $\displaystyle S$ là $\displaystyle 1$ và $\displaystyle N$ là $\displaystyle 0$ , khi đó mỗi kết quả của phép thử là một dãy $\displaystyle (s_1,s_2,s_3,s_4)$ với các $\displaystyle s_j\in\{0;1\}$ và không gian mẫu của phép thử là tập tất cả các dãy như vậy.

Gọi $\displaystyle E_i$ là sự kiện lần tung thứ $\displaystyle i$ ra mặt ngửa. Tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle E_1$ , cũng được ký hiệu bởi $\displaystyle E_1$ , là

$\displaystyle E_1=\{(0,s_2,s_3,s_4)\mid s_j\in \{0;1\},\quad\forall j\}.$ Đây là một tập con của không gian mẫu.

Nếu $\displaystyle A$ là biến cố ít nhất một mặt là ngửa thì tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle A$ , cũng được ký hiệu bởi $\displaystyle A$ , là $\displaystyle A=E_1\cup E_2\cup E_3\cup E_4.$ Nếu $\displaystyle B$ là biến cố tất cả bốn lần tung đều hiện mặt ngửa thì tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle B$ là $\displaystyle B=E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4.$ $\Box$

Ví dụ 3. Xét phép thử ngẫu nhiên: Chọn một quân bài từ $\displaystyle 52$ quân bài. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ của phép thử là tập tất cả $\displaystyle 52$ quân bài. Ta quan tâm đến bốn biến cố sau:

$\displaystyle A$ : Quân bài là một con Át.

$\displaystyle B$ : Quân bài có màu đen.

$\displaystyle C$ : Quân bài có chất Rô.

$\displaystyle D$ : Quân bài có chất Cơ.

Như một tập hợp $\displaystyle D=$ {Át cơ, 2 cơ , 3 cơ,…, K cơ}. Ta có thể tạo ra nhiều biến cố từ bốn biến cố này.

$\displaystyle A\cap B$ là biến cố quân bài rút ra là quân Át màu đen.

$\displaystyle A\cup C$ là biến cố quân bài rút ra là quân Át hoặc có chất Rô.

$\displaystyle A\cup C\cup D$ là sự kiện quân bài rút ra là quân Át hoặc có màu đỏ. $\Box$

Định nghĩa (Định nghĩa ngây thơ của xác suất). Cho $\displaystyle A$ là một biến cố (sự kiện) của một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu hữu hạn $\displaystyle \Omega$ . Khi đó xác suất của $\displaystyle A$ , hay xác suất xảy ra $\displaystyle A$ , là $\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{\mid A\mid }{\mid \Omega\mid}.$

Theo định nghĩa thì $\displaystyle 0\leq \mathbb{P}(A)\leq 1$ , với mọi sự kiện $\displaystyle A$ . Dấu bằng trong bất đẳng thức thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle A=\emptyset$ , lúc này ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố rỗng hay biến cố không thể. Dấu bằng trong bất đẳng thức thứ hai xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle A=\Omega$ , lúc này ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố chắc chắn. Để tính xác suất của biến cố $\displaystyle A$ , ta cần tính số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của $\displaystyle A$ (như một tập hợp).

Ví dụ 4. Tung hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng hai mặt bằng $\displaystyle 10$ .

Lời giải. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ là tập tất cả các cặp $\displaystyle (a,b)$ với $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ thuộc $\displaystyle \{1,2,\ldots,6\}$ . Tập các kết quả thuận lợi cho biến cố tổng hai mặt bằng $\displaystyle 10$ là $\displaystyle \{(5,5),(6,4),(4,6)\}$ , suy ra xác suất cần tính bằng $\displaystyle 3/36=1/12\approx 0.0833$ . $\Box$

Ví dụ 5. Một ván bài $\displaystyle 5$ lá được chia từ một bộ bài $\displaystyle 52$ lá tiêu chuẩn, được xáo trộn kỹ lưỡng. Ván bài được gọi là cù lũ trong poker nếu nó bao gồm ba lá bài ở cấp độ nào đó và hai lá bài ở cấp độ khác, ví dụ: ba lá bài $\displaystyle 7$ và hai lá bài $\displaystyle 10$ (theo bất kỳ thứ tự nào). Xác suất để có một cù lũ bằng bao nhiêu?

Lời giải. Không gian mẫu là họ tất cả các tập con gồm $\displaystyle 5$ lá bài trong bộ bài đã cho. Ta có ngay $\displaystyle \mid \Omega \mid =C_{52}^5$ . Có $\displaystyle 13\times 12$ cách chọn lần lượt hạng của bộ ba và đôi trong một cù lũ. Sau đó, có $\displaystyle C_4^3\times C_4^2$ cách chọn lần lượt một bộ ba và một đôi trong các hạng đã chọn trước đó. Suy ra xác suất cần tính bằng $\displaystyle \frac{13\times 12\times C_4^3\times C_4^2}{C_{52}^5}=\frac{3744}{2598960}\approx 0.0014.$ $\Box$

Continue reading →