IMO 2024: Problems and results

Ngày thi thứ nhất (16/7/2024)

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358923

Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ , số

$[\alpha]+[2\alpha]+\cdots+[n\alpha]$

chia hết cho $n$ .

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358926

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $g$ và $N$ thỏa mãn

$\gcd (a^n+b,b^n+a)=g$

với mọi số nguyên $n\geq N$ .

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358932

Cho dãy vô hạn các số nguyên dương $(a_n)_{n\geq 1}$ và số nguyên dương $N$ . Giả sử với mọi số nguyên $n>N$ , $a_n$ bằng số lần xuất hiện của $a_{n-1}$ trong dãy số $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_{n-1}$ . Chứng minh rằng một trong hai dãy số $(a_{2n-1})_{n\geq 1}$ và $(a_{2n})_{n\geq 1}$ là tuần hoàn kể từ lúc nào đó.

Ngày thi thứ hai (17/7/2024)

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359767

Cho $ABC$ là một tam giác với $AB < AC < BC$ . Gọi tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ lần lượt là $I$ và $\omega$ . Gọi $X$ là điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $C$ , sao cho đường thẳng qua $X$ song song với $AC$ tiếp xúc với $\omega$ . Tương tự, gọi $Y$ là điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $B$ , sao cho đường thẳng qua $Y$ song song với $AB$ tiếp xúc với $\omega$ . Đường thẳng $AI$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $P$ . Gọi $K$ và $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$ . Chứng minh rằng $\angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ}$ .

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359777

Ốc sên Turbo chơi trò chơi sau trên một bảng ô vuông cỡ $2024\times 2023$ . Trong $2022$ ô vuông con nào đó, có các con quỷ nấp ở đó. Ban đầu, Turbo không biết ô nào có quỷ, nhưng nó biết rằng trên mỗi hàng có đúng một con quỷ, trừ hàng đầu tiên và hàng cuối cùng, và trên mỗi cột có không quá một con quỷ.

Turbo thực hiện một dãy các phép thử để tìm cách đi từ hàng đầu đến hàng cuối của bảng. Tại mỗi lần thử, nó được quyền chọn một ô bất kỳ trên hàng đầu để xuất phát, sau đó liên tục di chuyển giữa các ô, mỗi bước từ một ô sang một ô có chung cạnh với ô mà nó đang đứng (nó được phép đến các ô đã từng đi qua). Nếu nó tới một ô có quỷ thì lần thử này dừng lại và nó được đưa trở lại hàng đầu để thực hiện một lần thử khác. Những con quỷ không di chuyển, và Turbo nhớ mỗi ô mà nó ghé qua có quỷ hay không. Nếu nó tới được một ô bất kỳ trên hàng cuối thì trò chơi kết thúc.

Xác định giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho Turbo luôn có chiến lược đảm bảo tới được hàng cuối cùng sau không quá $n$ lần thử, cho dù các con quỷ có nấp ở đâu.

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359771

Một hàm số $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ được gọi là đẹp nếu với mỗi số hữu tỷ $x$ và $y$ , $f(x+f(y))=f(x)+y$ hoặc $f(f(x)+y)=x+f(y)$ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm số đẹp $f$ , có không quá $c$ số hữu tỷ có dạng $f(r)+f(-r)$ , với số hữu tỷ $r$ nào đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của các số $c$ có tính chất này.

Ban tổ chức quyết định điểm xếp giải như sau:

HCV: $\geq 29$ , HCB: $\geq 22$ , HCĐ: $\geq 16$ .

Đội tuyển Việt Nam được 2 HCB và 3 HCĐ. Đội đứng thứ 33 về tổng điểm.

Top 10 đội có điểm cao nhất. Đội tuyển Trung Quốc đứng thứ hai, sau nhiều năm đứng thứ nhất.

Top 10 thí sinh có điểm cao nhất. Haojia Shi lần thứ hai đạt 42/42 điểm. 🙂

Nguồn ảnh: https://www.imo-official.org/

IMO2022SL/G7: Euler line

Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một số lời giải của bài toán G7 trong cuốn IMO 2022: Shortlisted Problems.

IMO2022SL/G7. Hai tam giác $ABC, A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ có cùng trực tâm $H$ và cùng đường tròn ngoại tiếp có tâm $O$ . Gọi $PQR$ là tam giác tạo bởi $AA^{\prime}$ , $BB^{\prime}$ và $CC^{\prime}$ , chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $PQR$ nằm trên $OH$ .

IMO Shortlist 2022: Geometry

Trong bài này tôi sẽ dịch phần Hình học trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/

—

G1. Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ với $BC=DE.$ Giả sử có một điểm $T$ nằm trong $ABCDE$ sao cho $TB=TD,$ $TC=TE,$ và $\angle ABT = \angle TEA$ . Đường thẳng $AB$ cắt các đường thẳng $CD$ và $CT$ lần lượt tại $P$ và $Q.$ Giả sử $P,$ $B,$ $A,$ và $Q$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường thẳng $AE$ cắt các đường thẳng $CD$ và $DT$ lần lượt tại $R$ và $S.$ Giả sử $R,$ $E,$ $A,$ và $S$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Chứng minh rằng các điểm $P,$ $S,$ $Q,$ và $R$ cùng nằm trên một đường tròn.

G2. Trong tam giác nhọn $ABC$ , điểm $F$ là chân đường cao kẻ từ $A$ , $P$ là một điểm trên đoạn $AF$ . Các đường thẳng qua $P$ song song với $AC$ và $AB$ lần lượt cắt $BC$ tại $D$ và $E$ . Các điểm $X \ne A$ và $Y \ne A$ lần lượt nằm trên $(ABD)$ và $(ACE)$ sao cho $DA = DX$ và $EA = EY$ . Chứng minh rằng các điểm $B, C, X,$ và $Y$ cùng nằm trên một đường tròn.

G3. Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp. Giả sử các điểm $Q$ , $A$ , $B$ , và $P$ thẳng hàng theo thứ tự này sao cho đường thẳng $AC$ là tiếp tuyến của $(ADQ)$ , và đường thẳng $BD$ là tiếp tuyến của $(BCP)$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC$ và $AD$ . Chứng minh ba đường thẳng sau đồng quy: đường thẳng $CD$ , tiếp tuyến của $(ANQ)$ tại $A$ , và tiếp tuyến của $(BMP)$ tại $B$ .

G4. Cho $ABC$ là một tam giác nhọn có $AC > AB$ , gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó và $D$ là một điểm trên đoạn $BC$ . Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ lần lượt cắt các đường thẳng $AO, AC,$ và $AB$ tại $W, X,$ và $Y$ . Các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $AXY$ và $ABC$ cắt lại nhau tại $Z \ne A$ . Chứng minh rằng nếu $W \ne D$ và $OW = OD,$ thì $DZ$ là tiếp tuyến của $(AXY)$ .

G5. Cho $ABC$ là một tam giác và $\ell_1,\ell_2$ là hai đường thẳng song song. Giả sử với mỗi $i,$ $\ell_i$ lần lượt cắt các đường thẳng $BC$ , $CA$ , $AB$ tại $X_i,Y_i,Z_i$ . Với mỗi $i$ , gọi $\Delta_i$ là tam giác được tạo bởi đường thẳng đi qua $X_i$ và vuông góc với $BC$ , đường thẳng đi qua $Y_i$ và vuông góc với $CA$ , và đường thẳng đi qua $Z_i$ và vuông góc với $AB$ . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $\Delta_1$ và $\Delta_2$ tiếp xúc với nhau.

G6. Cho $ABC$ là một tam giác nhọn có đường cao ${AH}$ và $P$ là một điểm thay đổi sao cho các đường phân giác $k$ và $\ell$ lần lượt của $\angle PBC$ và $\angle PCB$ gặp nhau trên ${AH}$ . Cho $k$ gặp ${AC}$ tại $E$ , $\ell$ gặp ${AB}$ tại $F$ và ${EF}$ gặp ${AH}$ tại $Q$ . Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi, đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định.

G7. Hai tam giác $ABC, A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ có cùng trực tâm $H$ và cùng đường tròn ngoại tiếp có tâm $O$ . Gọi $PQR$ là tam giác tạo bởi $AA^{\prime}$ , $BB^{\prime}$ và $CC^{\prime}$ , chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $PQR$ nằm trên $OH$ .

G8. Cho $AA^{\prime}BCC^{\prime}B^{\prime}$ là một lục giác lồi nội tiếp sao cho $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ và $A^{\prime}C^{\prime}$ là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ . Cho các đường thẳng $AB$ và $A^{\prime}B^{\prime}$ cắt nhau tại $X$ , các đường thẳng $BC$ và $B^{\prime}C^{\prime}$ cắt nhau tại $Y$ . Chứng minh rằng nếu $XBYB^{\prime}$ là một tứ giác lồi thì nó có đường tròn nội tiếp.

IMO2011/6: Miquel circles and Steiner line

Sau khi giải xong bài IMO2023/6 ([1]) tôi vào topic thảo luận về bài toán đó trên AoPS ([2]) để tham khảo các lời giải khác. Tôi thấy parmenides51 bình luận rằng trong lịch sử IMO thì bài này là bài khó thứ nhì trong các bài hình học, bài khó nhất là bài IMO2011/6. Do tò mò tôi vào trang chủ của IMO ([3]) xem bài toán đó thế nào? Dưới đây là đề bài:

IMO2011/6. Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ . Giả sử $l$ là một tiếp tuyến nào đó của $\Gamma$ . Gọi $l_a$ , $l_b$ , và $l_c$ là những đường thẳng nhận được từ $l$ bằng cách lấy đối xứng qua $BC$ , $CA$ , và $AB$ , tương ứng. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác tạo bởi ba đường thẳng $l_a$ , $l_b$ , và $l_c$ tiếp xúc với $\Gamma$ .

Trong điều kiện phòng thi thì thống kê chứng tỏ đây là bài hình học khó nhất trong lịch sử IMO! Ảnh sau tôi lấy từ [3], chỉ có $4$ thí sinh làm được bài toán này. Một bài toán rất rất khó!

Chỉ có 4 thí sinh làm được bài IMO2011/6.

Tôi thích bài IMO2023/6 bởi nó khá lạ so với các bài toán hình thường làm, bài IMO2011/6 này hấp dẫn tôi bởi sự giản dị. Không thể tin được là có kết quả này! Tôi quyết định lập một topic trên blog của tôi để làm việc với bài toán mỗi khi có thời gian (công việc chính của tôi là dạy đại số và số học cho các học sinh Chuyên toán bậc THPT), nó có thể lấy của tôi vài ngày hay nhiều tuần. Khi tôi đang gõ dòng này thì topic đang ở trạng thái ĐỢI, giải được bài toán tôi sẽ bấm nút CÔNG BỐ. Ở mỗi thời điểm, có được kết quả mới nào tôi sẽ sửa vào đây. Lời giải được viết theo hình vẽ trong bài, các trường hợp khác được bỏ qua.

Continue reading →