Cho $m$ và $n$ là các số nguyên lớn hơn $1$ . Trong mỗi ô vuông đơn vị của lưới $m\times n$ có một đồng xu với mặt trái hướng lên trên. Một phép toán bao gồm các bước sau.

chọn một hình vuông $2\times 2$ trong lưới;
lật các đồng xu ở ô đơn vị trên cùng bên trái và dưới cùng bên phải;
lật đồng xu ở ô vuông đơn vị trên cùng bên phải hoặc dưới cùng bên trái.

Xác định tất cả các cặp $(m,n)$ sao cho mọi đồng xu đều hiện mặt phải sau một số hữu hạn lần thực hiện phép toán.

C2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359755p31218537

Xác định số nguyên dương $L$ lớn nhất sao cho tồn tại một dãy các số nguyên dương $a_1,\dots,a_L$ có tính chất: mỗi số hạng của dãy không lớn hơn $2^{2023}$ , và không có các số hạng liên tiếp $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (ở đây $1\le i\le j\le L$ ) với một cách chọn dấu $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ để

$s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.$

C3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107350p28104367

Cho $n$ là một số nguyên dương. Một tam giác Nhật Bản gồm $1+2+\cdots+n$ hình tròn được xếp thành một hình tam giác đều sao cho với mỗi $i = 1, 2, ..., n$ , hàng thứ $i$ có đúng $i$ hình tròn và trên hàng đó có đúng một hình tròn được tô màu đỏ. Một đường đi ninja trong một tam giác Nhật Bản là một dãy gồm $n$ hình tròn nhận được bằng cách xuất phát từ hàng trên cùng, đi lần lượt từ một hình tròn xuống một trong hai hình tròn ngay dưới nó, và kết thúc tại hàng dưới cùng. Trong hình vẽ là một tam giác Nhật Bản với $n = 6$ và một đường đi ninja có chứa hai hình tròn màu đỏ.

Như một hàm số của $n$ , tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho trong mỗi tam giác Nhật Bản luôn có một đường đi ninja chứa ít nhất $k$ hình tròn màu đỏ. (IMO2023/5)

C4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359724p31218375

Cho $n\geqslant 2$ là một số nguyên dương. Paul có một dải hình chữ nhật cỡ $1\times n^2$ gồm $n^2$ hình vuông đơn vị, trong đó hình vuông thứ $i$ được gắn nhãn $i$ với mọi $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Anh ta muốn cắt dải giấy thành nhiều mảnh, trong đó mỗi mảnh bao gồm một số ô vuông đơn vị liên tiếp, sau đó dịch chuyển (không xoay hoặc lật) các mảnh để thu được hình vuông $n\times n$ thỏa mãn tính chất sau: nếu hình vuông đơn vị trong hàng $i$ và cột $j$ được gắn nhãn $a_{ij}$ , thì $a_{ij}-(i+j -1)$ chia hết cho $n$ .

Xác định số mảnh nhỏ nhất mà Paul cần tạo để hoàn thành việc này.

C5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359765p31218619

Elisa có $latex $2023$ rương kho báu, tất cả đều được mở khóa và trống rỗng lúc đầu. Mỗi ngày, Elisa thêm một viên đá quý mới vào một trong những chiếc rương đã mở khóa mà cô ấy chọn, và sau đó, một cô tiên sẽ hành động theo các quy tắc sau:

nếu có nhiều hơn một rương được mở khóa, cô sẽ khóa một trong số chúng, hoặc
nếu chỉ có một rương được mở khóa, cô sẽ mở khóa tất cả các rương.

Cho rằng quá trình này diễn ra mãi mãi, hãy chứng minh rằng tồn tại một hằng số $C$ với tính chất sau: Elisa có thể đảm bảo rằng chênh lệch giữa số viên ngọc trong hai rương bất kỳ không bao giờ vượt quá $latex $C$, bất kể cô tiên hành động như thế nào.

C6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359747p31218478

Cho $N$ là một số nguyên dương và xét một lưới $N \times N$ các ô vuông. Đường dẫn xuống bên phải là một dãy các ô lưới sao cho mỗi ô là một ô ở bên phải hoặc một ô bên dưới ô trước đó trong chuỗi. Đường dẫn lên bên phải là một chuỗi các ô lưới sao cho mỗi ô là một ô ở bên phải hoặc một ô phía trên ô trước đó trong chuỗi.

Chứng minh rằng không thể phân chia các ô của lưới $N \times N$ thành ít hơn $N$ vùng sao cho mỗi vùng là một đường dẫn xuống bên phải xuống hoặc một đường dẫn lên bên phải.

Chẳng hạn, lưới $5 \times 5$ có thể phân chia thành $5$ vùng như hình vẽ.

C7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359751p31218524

Quần đảo Imomi bao gồm $n\geq 2$ hòn đảo. Giữa mỗi cặp đảo khác nhau có một tuyến phà duy nhất chạy theo cả hai hướng và mỗi tuyến phà được điều hành bởi một trong $k$ công ty. Được biết, nếu bất kỳ công ty nào đóng cửa tất cả các tuyến phà của mình thì một du khách, bất kể bắt đầu từ đâu, sẽ không thể ghé thăm tất cả các hòn đảo đúng một lần (đặc biệt là không quay lại hòn đảo mà du khách bắt đầu). Xác định giá trị lớn nhất có thể có của $k$ theo $n$ .

IMO Shortlist 2023: Number theory

Hình học : https://nttuan.org/2024/11/02/isl2023-geometry/

Đại số: https://nttuan.org/2025/01/23/isl2023-algebra/

——

N1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106752p28097575

Tìm tất cả các hợp số $n$ có tính chất: nếu $d_1, d_2, \ldots, d_k$ là tất cả ước dương của $n$ với $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ , thì $d_i$ chia hết $d_{i+1}+d_{i+2}$ với mọi $i$ thỏa mãn $1 \leqslant i \leqslant k-2$ . (IMO2023/1)

N2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359734p31218394

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,p)$ sao cho $p$ là một số nguyên tố và $p^a+a^4$ là một số chính phương.

N3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359721p31218370

Với các số nguyên dương $n$ và $k \geq 2$ , gọi $E_k(n)$ là số tự nhiên $r$ lớn nhất sao cho $k^r$ chia hết $n!$ . Chứng minh rằng có vô hạn $n$ để $E_{10}(n) > E_9(n)$ và vô hạn $m$ để $E_{10}(m) < E_9(m)$ .

N4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359730p31218384

Cho $a_1, \dots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ là $2n$ số nguyên dương sao cho $n+1$ tích

$a_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 b_2 a_3 \cdots a_n, \dots, b_1 b_2 b_3 \cdots, b_n$

tạo thành một cấp số cộng tăng theo thứ tự đó. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có thể là công sai của một cấp số cộng như vậy.

N5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359746p31218469

Cho $a_1<a_2<a_3<\dots$ là các số nguyên dương sao cho $a_{k+1}\mid 2(a_1+a_2+\dots+a_k)$ với mọi $k\geqslant 1$ . Giả sử rằng với vô hạn số nguyên tố $p$ , tồn tại $k$ để $p$ chia hết $a_k$ . Chwungs minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ , tồn tại $k$ để $n$ chia hết $a_k$ .

N6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359725p31218376

Một dãy các số nguyên $a_0, a_1,\ldots$ được gọi là tốt nếu $a_0 =0$ , $a_1=1,$ và

$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$

với mọi số nguyên $n \geq 0$ . Một số nguyên được gọi là tốt nếu nó thuộc một dãy tốt. Giả sử hai số $m$ và $m+1$ đều tốt, chứng minh rằng $m$ chia hết cho $3,$ và $m/3$ cũng là số tốt.

N7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359727p31218380

Xét các số nguyên dương $a$ , $b$ , $latex $c$, và $d$ thỏa mãn

$\displaystyle \frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d}.$

Tính tổng $a+b+c+d$ .

N8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359735p31218397

Tìm tất cả các hàm số $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ sao cho

$f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b),$

với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ . Trong đó $f^k$ là lũy thừa bậc $k$ của $f$ theo phép toán hợp thành.

Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO)

Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO) là cuộc thi toán học danh giá nhất dành cho học sinh trung học trên toàn thế giới. IMO được tổ chức lần đầu tiên vào năm 1959 tại Romania, với sự tham gia của 7 quốc gia Đông Âu: Romania, Hungary, Bulgaria, Ba Lan, Tiệp Khắc, Đông Đức và Liên Xô. Ý tưởng tổ chức IMO xuất phát từ mong muốn thúc đẩy sự phát triển của toán học, khuyến khích học sinh tài năng và tạo cơ hội giao lưu học thuật quốc tế. Từ quy mô nhỏ ban đầu, IMO đã phát triển mạnh mẽ, hiện thu hút hơn 100 quốc gia tham gia mỗi năm. Việt Nam bắt đầu tham dự IMO từ năm 1974 và đã đạt được nhiều thành tựu đáng tự hào, với nhiều huy chương vàng, bạc, đồng.

IMO nhằm mục đích phát hiện và nuôi dưỡng tài năng toán học trẻ, khuyến khích tư duy sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề phức tạp và thúc đẩy hợp tác quốc tế trong lĩnh vực giáo dục toán học. Đề thi IMO yêu cầu thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức toán học mà còn phải có khả năng tư duy logic, sáng tạo và áp dụng linh hoạt các phương pháp giải bài toán ở trình độ cao. Các bài toán thường không yêu cầu kiến thức vượt quá chương trình trung học, nhưng đòi hỏi sự sâu sắc trong tư duy và khả năng tìm ra các cách tiếp cận độc đáo.

IMO diễn ra trong hai ngày thi, mỗi ngày thí sinh giải 3 bài toán trong 4,5 giờ (tổng cộng 6 bài toán). Đề thi bao gồm các bài toán thuộc bốn phân môn chính của toán học trung học:

– Đại số: Các bài toán về phương trình hàm, bất đẳng thức, đa thức, hoặc dãy số.

– Hình học: Các bài toán về hình học phẳng, thường yêu cầu sử dụng các phương pháp hình học tổng hợp.

– Số học: Các bài toán liên quan đến lý thuyết số cơ sơ cấp, tính chất chia hết, số nguyên tố, hoặc ngôn ngữ đồng dư.

– Tổ hợp: Các bài toán về đếm, xác suất, lý thuyết đồ thị, hoặc các bài toán liên quan đến sắp xếp tổ hợp.

Mỗi bài toán được chấm tối đa 7 điểm, tổng điểm tối đa là 42 điểm. Đề thi được thiết kế để phân loại rõ ràng trình độ của thí sinh, với các bài toán có độ khó tăng dần.

Quy trình ra đề thi IMO được thực hiện rất nghiêm ngặt để đảm bảo tính công bằng và chất lượng. Mỗi quốc gia tham gia IMO được mời gửi các bài toán đề xuất đến Ban tổ chức. Các bài toán này được một ủy ban quốc tế (IMO Problem Selection Committee) xem xét và lựa chọn. Ủy ban này, bao gồm các chuyên gia toán học từ nhiều quốc gia, sẽ đánh giá tính sáng tạo, độ khó, và tính phù hợp của bài toán. Sau đó, các bài toán được chọn sẽ được dịch ra nhiều ngôn ngữ và kiểm tra kỹ lưỡng để tránh sai sót. Các bài toán được giữ bí mật tuyệt đối cho đến ngày thi. Mỗi năm, đề thi được thiết kế để cân bằng giữa các phân môn và đảm bảo có ít nhất một bài toán “dễ” (để hầu hết thí sinh có thể giải), một bài toán “trung bình” và một bài toán “khó” (thách thức các thí sinh xuất sắc nhất).

Quy trình chấm thi IMO được thực hiện công bằng và minh bạch. Sau khi hoàn thành bài thi, các bài làm của thí sinh được trưởng đoàn của quốc gia đó chấm sơ bộ. Sau đó, bài thi được chuyển đến một ban chấm thi quốc tế, nơi các giám khảo sẽ thảo luận và thống nhất điểm số. Nếu có tranh cãi về cách chấm, trưởng đoàn có thể giải thích hoặc bảo vệ cách giải của thí sinh trước ban chấm thi. Mỗi bài toán được chấm theo thang điểm 0-7 dựa trên mức độ hoàn chỉnh và chính xác của lời giải. Tổng điểm của thí sinh quyết định thứ hạng và các giải thưởng (huy chương vàng, bạc, đồng hoặc bằng khen).

Continue reading →

IMO Shortlist 2023: Algebra

Phần Hình học các bạn xem ở đây https://nttuan.org/2024/11/02/isl2023-geometry/

A1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359728p31218381

Giáo sư Oak đang cho $100$ Pokemon của mình ăn. Mỗi Pokemon có một chiếc bát có sức chứa là số thực dương kilogam. Những sức chứa này đã được Giáo sư biết đến. Tổng sức chứa của tất cả các bát là $100$ kg. Giáo sư Oak phân phát $100$ kg thức ăn theo cách mà mỗi Pokemon nhận được số nguyên không âm kg thức ăn (có thể lớn hơn dung tích của bát). Mức độ không hài lòng của Pokemon nhận được $N$ kg thức ăn và bát của nó có sức chứa $C$ kg là $\lvert N-C\rvert$ . Tìm số thực nhỏ nhất $D$ sao cho bất kể dung tích của các bát như thế nào, Giáo sư Oak có thể phân phát thức ăn sao cho tổng các mức độ không hài lòng của tất cả các Pokemon nhiều nhất là $D$ .

A2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359723p31218373

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)f(x-y)\geqslant f(x)^2-f(y)^2$ với mọi số thực $x$ và $y$ . Giả sử có bất đẳng thức thực sự với hai số thực $x_0$ và $y_0$ nào đó. Chứng minh rằng $f(x)\geqslant 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ hoặc $f(x)\leqslant 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ .

A3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107339p28104298

Cho $2023$ số thực dương $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ đôi một khác nhau thỏa mãn $a_n=\sqrt{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)}$ là số nguyên với mọi $n=1,2,\ldots,2023$ . Chứng minh rằng $a_{2023}\geq 3034$ . (IMO2023/4)

A4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359742p31218446

Tìm tất cả các hàm số $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ sao cho

$x \cdot \left(f(x) + f(y)\right) \geq \left(f(f(x)) + y\right) \cdot f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .

A5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359722p31218372

Cho các số nguyên dương $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ thỏa mãn

(1) $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ là một hoán vị của $1$ , $2$ , $\dots$ , $2023$ , và

(2) $|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{2022}-a_{2023}|$ là một hoán vị của $1$ , $2$ , $\dots$ , $2022$ .

Chứng minh rằng $\max(a_1,a_{2023})\ge 507$ .

A6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106754p28097579

Với số nguyên $k>1,$ tìm tất cả các dãy vô hạn số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots$ sao cho tồn tại đa thức $P$ với hệ số nguyên không âm có dạng $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0$ để $P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}$ với mọi số nguyên dương $n.$ (IMO2023/3)

A7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359726p31218377

Cho số nguyên dương $N$ . Chứng minh rằng có ba hoán vị $a_1$ , $\dots$ , $a_N$ , $b_1$ , $\dots$ , $b_N$ , và $c_1$ , $\dots$ , $c_N$ của $1$ , $\dots$ , $N$ sao cho $\left|\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k}+\sqrt{c_k}-2\sqrt{N}\right|<2023$ với mọi $k=1,2,\dots,N$ .