Functional equations – Page 2

Trong bài này tôi sẽ dịch phần Đại số trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/.

Các phần khác trong cuốn IMO Shortlist 2022 tôi đã để ở các bài dưới đây:

Hình học https://nttuan.org/2023/09/08/isl2022-geometry/

Tổ hợp https://nttuan.org/2023/09/29/isl2022-combinatorics/

A1. Cho $(a_n)_{n\geq 1}$ là một dãy số thực dương có tính chất $(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$ với mọi số nguyên dương $n$ . Chứng minh rằng $a_{2022}\leq 1.$

A2. Cho một số nguyên $k\ge2$ . Tìm số nguyên $n \ge k+1$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập $n$ số thực có tính chất: mỗi phần tử của nó có thể viết được dưới dạng tổng của $k$ phần tử phân biệt khác của tập hợp.

A3. Gọi $\mathbb{R}^+$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ sao cho với mỗi $x \in \mathbb{R}^+$ , có đúng một $y \in \mathbb {R}^+$ thỏa mãn $xf(y)+yf(x) \leq 2$ . (IMO2022/2)

A4. Gọi $n \geqslant 3$ là một số nguyên và $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các số thực trong đoạn $[0,1]$ . Đặt $s=x_1+x_2+\ldots+x_n$ và giả sử rằng $s \geqslant 3$ . Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $i$ và $j$ với $1 \leqslant i<j \leqslant n$ sao cho $2^{j-i}x_ix_j>2^{s-3}.$

A5. Tìm tất cả các số nguyên dương $n \geqslant 2$ sao cho tồn tại $n$ số thực $a_1<\cdots<a_n$ và số thực $r>0$ để $\frac{1}{2}n( n-1)$ hiệu $a_j-a_i$ với $1 \leqslant i<j \leqslant n$ bằng, theo một thứ tự nào đấy, các số $r^1,r^2,\ldots,r^{\frac{ 1}{2}n(n-1)}$ .

A6. Chúng ta nói rằng một hàm $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ là tốt nếu $f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb R$ . Tìm tất cả các số hữu tỉ $q$ sao cho với mọi hàm tốt $f$ , tồn tại một số thực $z$ sao cho $f(z) = qz$ .

A7. Với số nguyên dương $m$ , ký hiệu $s(m)$ là tổng các chữ số của $m$ trong hệ thập phân. Gọi $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ là một đa thức, trong đó $n \geqslant 2$ và $a_i$ là một số nguyên dương với mọi $0 \leqslant i \leqslant n-1$ . Có thể xảy ra với mỗi số nguyên dương $k$ , $s(k)$ và $s(P(k))$ có cùng tính chẵn – lẻ?

A8. Với số nguyên dương $n$ , một $n$ -dãy là một dãy $(a_0,\ldots,a_n)$ gồm các số nguyên không âm có tính chất: nếu $i$ và $j$ là các số nguyên không âm với $i+j \leqslant n$ , thì $a_i+a_j \leqslant n$ và $a_{a_i+a_j}=a_{i+j}$ . Gọi $f(n)$ là số $n$ -dãy. Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương $c_1$ , $c_2$ và $\lambda$ sao cho $c_1\lambda^n<f(n)<c_2\lambda^n$ với mọi số nguyên dương $n$ .

Trong mục này, qua các ví dụ và bài tập, chúng tôi sẽ giới thiệu các kỹ thuật cơ bản để giải các phương trình hàm trên tập số thực.

Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho

$f(x)f(y)=xy-f(x+y),\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.$

Lời giải. Giả sử $f$ là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, khi đó

$f(x)f(y)=xy-f(x+y),\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.\quad (1)$

Trong (1), cho $x=y=0$ ta có $f(0)^2=-f(0)$ , suy ra $f(0)=0$ hoặc $f(0)=-1$ . Nếu $f(0)=0$ thì trong (1), chọn $y=0$ ta có $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . Kiểm tra ta thấy hàm số này không thỏa mãn. Bây giờ ta xét trường hợp $f(0)=-1$ .

Trong (1), cho $x=1$ và $y=-1$ ta có $f(1)f(-1)=0$ , suy ra $f(1)=0$ hoặc $f(-1)=0$ .

Trường hợp 1: $f(1)=0$ .

Trong (1), chọn $y=1$ , ta có $f(x+1)=x$ với mọi số thực $x$ , suy ra $f(x)=x-1,\quad\forall x\in\mathbb{R}.$

Trường hợp 2: $f(-1)=0$ .

Trong (1), chọn $y=-1$ , ta có $f(x-1)=-x$ với mọi số thực $x$ , suy ra $f(x)=-x-1,\quad\forall x\in\mathbb{R}.$

Khi $f(x)=x-1$ thì với mỗi số thực $x$ và $y$ , ta có

$xy-f(x+y)=xy-(x+y-1)=(x-1)(y-1)=f(x)f(y),$

suy ra hàm số này thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Khi $f(x)=-x-1$ thì với mỗi số thực $x$ và $y$ , ta có

$xy-f(x+y)=xy+(x+y+1)=(-x-1)(-y-1)=f(x)f(y),$

suy ra hàm số $f(x)=-x-1$ cũng thỏa mãn.

Vậy có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, đó là $f(x)=x-1$ và $f(x)=-x-1$ . $\Box$

Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(f(x)+y)=yf(x-f(y)),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.$

Lời giải. Giả sử $f$ là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó

$f(f(x)+y)=yf(x-f(y)),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.\quad (1)$

Trong (1), chọn $y=0$ , ta có $f(f(x))=0$ với mọi số thực $x$ . Từ đây, bằng cách thay $x$ bởi $f(y)$ vào (1), ta có $f(y)=f(0)y$ với mọi số thực $y$ . Suy ra $f(0)=0$ và $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . Ngược lại, kiểm tra thấy hàm số $f(x)=0$ thỏa mãn.

Vậy có đúng một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, đó là $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . $\Box$

Ví dụ 3. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn

$\displaystyle f(xy)=\frac{f(x)+f(y)}{x+y}$

với mọi số thực $x$ và $y$ sao cho $x+y\not=0.$

Lời giải. Giả sử $f$ là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó

$\displaystyle f(xy)=\frac{f(x)+f(y)}{x+y}$

với mọi số thực $x$ và $y$ sao cho $x+y\not=0. \quad (*)$

Từ $(*)$ , với $x=0$ và $y=1$ ta có $f(1)=0$ . Vẫn từ $(*)$ , chọn $y=1$ ta được

$xf(x)=0,\quad\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$

Nói riêng, $f(2)=0$ . Từ $(*)$ , với $x=2$ và $y=0$ , ta có $f(0)=0$ . Cuối cùng, với $y=0$ , từ $(*)$ ta có $f(x)=0$ với mọi số thực $x\not=0$ . Suy ra $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . Ngược lại, kiểm tra thấy hàm số $f(x)=0$ thỏa mãn.

Vậy có đúng một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, đó là $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . $\Box$

Ví dụ 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn

$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.$

Lời giải. Giả sử $f$ là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó

$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.\quad (1)$

Từ (1), với $x=y=1$ ta có $f(1)^2=f(1)$ , suy ra $f(1)=0$ hoặc $f(1)=1$ . Nếu $f(1)=1$ thì với $y=1$ , từ (1) ta có $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ . Kiểm tra ta thấy hàm số này thỏa mãn. Bây giờ ta xét trường hợp $f(1)=1$ .

Trong (1), chọn $y=1$ và để ý $f(1)=1$ , ta có $xf(x)=x$ với mọi số thực $x$ . Suy ra tồn tại số thực $a$ để

$f(x)=\begin{cases}1,\quad x\not=0\\ a,\quad x=0.\end{cases}$

Kiểm tra cẩn thận ta thấy hàm số này cũng thỏa mãn.

Vậy các hàm số phải tìm là $f(x)=0$ với mọi số thực $x$ , hoặc

$f(x)=\begin{cases}1,\quad x\not=0\\ a,\quad x=0.\end{cases}$

Ở đây $a$ là một số thực. $\Box$

Ví dụ 5. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x+y) = \max(f(x),y) + \min(f(y),x)$

với mọi số thực $x$ và $y$ .

Lời giải. Giả sử $f$ là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó

$f(x+y) = \max(f(x),y) + \min(f(y),x)$

với mọi số thực $x$ và $y.\quad (*)$

Từ $(*)$ , lần lượt thay $x=0$ và $y=0$ , ta có

$f(y) = \max(f(0),y) + \min(f(y),0),\quad\forall y\in\mathbb{R},$

và

$f(x) = \max(f(x),0) + \min(f(0),x),\quad\forall x\in\mathbb{R}.$

Suy ra với mỗi số thực $x$ ,

$2f(x)=f(x)+f(x)=(f(0)+x)+(f(x)+0),$

do đó $f(x)=x+f(0),\quad\forall x\in\mathbb{R}$ . Sử dụng điều này, khi thay $x=0$ và $y=f(0)$ , từ $(*)$ ta có $f(0)=\min (2f(0),0)$ . Suy ra $f(0)=0$ , và $f(x)=x$ với mọi số thực $x$ . Ngược lại, kiểm tra thấy hàm số $f(x)=x$ thỏa mãn.