Siegel’s lemma

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của bổ đề Siegel, một bổ đề có nhiều áp dụng trong số học (xem trong [1], trang 316).

Bổ đề Siegel. Cho hai số nguyên dương $N>M$ và một bảng các số nguyên không đồng thời bằng không $(a_{i,j})$ có cỡ $M\times N$ . Khi đó hệ phương trình

$\displaystyle \sum_{j=1}^Na_{i,j}x_j=0,\quad i=1,2,\ldots,M$

có nghiệm nguyên $(y_1,y_2,\ldots,y_N)$ thỏa mãn $\max \mid y_i\mid \leq \left(N\max \mid a_{i,j}\mid \right)^{\frac{M}{N-M}}$ và các số $y_1,y_2,\ldots,y_N$ không đồng thời bằng không.

Hệ phương trình thuần nhất trên có số ẩn nhiều hơn số phương trình và có hệ số hữu tỷ nên nó có nghiệm hữu tỷ khác không, do đó nó có nghiệm nguyên khác không (xem trong [2], trang 49). Bổ đề nói rằng ta có thể tìm nghiệm nguyên không tầm thường đủ nhỏ của hệ.

Chứng minh. Đặt $a=\max \mid a_{i,j}\mid$ , $\displaystyle L_i(x_1,x_2,\ldots,x_N)=\sum_{j=1}^Na_{i,j}x_j,$
$\displaystyle a_i^{+}=\sum_{j=1}^N\max\{a_{i,j};0\},$ và $\displaystyle a_i^{-}=\sum_{j=1}^N\min \{a_{i,j};0\},$ với $i=1,2,\ldots,M$ .

Xét một số tự nhiên $b$ . Gọi $S$ là tập các bộ số tự nhiên $(x_1,x_2,\ldots,x_{N})$ thỏa mãn $x_i\leq b$ với mọi $i$ . Khi đó $\mid S\mid =(b+1)^N$ và với mỗi $(x_i)\in S$ , bộ

$(L_1(x_1,x_2,\ldots,x_N),L_2(x_1,x_2,\ldots,x_N),\ldots,L_M(x_1,x_2,\ldots,x_N))$

thuộc tập hợp tích $\displaystyle T=\prod_{i=1}^M\{a_i^{-}b,a_i^{-}b+1,\ldots,a_i^{+}b\}$ . Ta có

$\displaystyle \mid T\mid = \prod_{i=1}^M\mid \{a_i^{-}b,a_i^{-}b+1,\ldots,a_i^{+}b\}\mid = \prod_{i=1}^M(b(a_i^+-a_i^-)+1)\leq (bNa+1)^M.$

Giả sử chọn được $b$ thỏa mãn bất đẳng thức

$\displaystyle (bNa+1)^M<(b+1)^N.\quad (*)$

Khi đó tồn tại hai phần tử khác nhau $(x_i)$ và $(x_i^{\prime})$ của $S$ để hai phần tử tương ứng trong $T$ là một. Ta thấy $(y_i)$ , với $y_i=x_i-x_i^{\prime}$ , là một nghiệm nguyên khác không của hệ phương trình thỏa mãn $\mid y_i\mid\leq b$ với mọi $i$ . Bây giờ kiểm tra thấy khi $b= \left[\left(Na\right)^{\frac{M}{N-M}}\right]$ thì có $(*)$ , từ đó có nghiệm $(y_i)$ thỏa mãn bổ đề.

Tài liệu tham khảo

[1] Hindry, M., Silverman, J.H.: Diophantine Geometry. Springer, New York (2000)
[2] Jacobson, N.: Lectures in Abstract Algebra: II. Linear Algebra. Springer, New
York (1975)