Author: Nguyen Trung-Tuan

A math teacher.

Canadian Mathematical Olympiad 2008


Bài 1. Cho ABCD là một tứ giác lồi có AB là cạnh dài nhất. Các điểm M và N lần lượt nằm trên các cạnh AB và BC, sao cho mỗi đoạn thẳng AN và CM chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng đoạn thẳng MN chia đôi đường chéo BD.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập hợp các số hữu tỉ và nhận giá trị hữu tỉ sao cho f(2f(x)+f(y))=2x+y, với mỗi x và y.

Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng

\displaystyle\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{3}{2}.

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập hợp các số tự nhiên và nhận giá trị là các số tự nhiên sao cho (f(n))^{p}\equiv n \pmod{f(p)} với mọi n\in \mathbb{N} và mọi số nguyên tố p.

Bài 5. Một đường đi của quân xe không tự cắt trên một bàn cờ (một lưới chữ nhật gồm các ô vuông đơn vị) là một đường đi được tạo ra bởi một chuỗi các nước đi song song với một cạnh của bàn cờ từ một ô vuông đơn vị này sang một ô vuông đơn vị khác, sao cho mỗi nước đi bắt đầu từ nơi nước đi trước đó kết thúc và không có nước đi nào đi qua một ô vuông đã được đi qua trước đó, tức là đường đi của quân xe không tự cắt. Gọi R(m,n) là số các đường đi của quân xe không tự cắt trên một bàn cờ kích thước m\times n (m hàng, n cột) bắt đầu tại góc dưới bên trái và kết thúc tại góc trên bên trái. Ví dụ, R(m,1)=1 với mọi số tự nhiên m; R(2,2)=2; R(3,2)=4; R(3,3)=11. Tìm một công thức cho R(3,n) với mỗi số tự nhiên n.

Asian Pacific Mathematics Olympiad 2009


Bài 1. Xét phép toán sau trên các số thực dương được viết trên bảng: Chọn một số r được viết trên bảng, xóa số đó, và sau đó viết một cặp số thực dương a và b thỏa mãn điều kiện 2r^2=ab lên bảng. Giả sử ban đầu bạn chỉ có một số thực dương trên bảng, và thực hiện phép toán này k^2-1 lần để cuối cùng thu được k^2 số thực dương, không nhất thiết phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một số trên bảng không vượt quá kr.

Bài 2. Cho a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 là các số thực thỏa mãn \frac{a_1}{k^2+1} + \frac{a_2}{k^2+2} + \frac{a_3}{k^2+3} + \frac{a_4}{k^2+4} + \frac{a_5}{k^2+5} = \frac{1}{k^2} với k=1,2,3,4,5. Tìm giá trị của \frac{a_1}{37} + \frac{a_2}{38} + \frac{a_3}{39} + \frac{a_4}{40} + \frac{a_5}{41} (Biểu diễn giá trị dưới dạng một phân số duy nhất.)

Bài 3. Cho ba đường tròn \Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3 không giao nhau và rời nhau từng đôi một trên mặt phẳng. Với mỗi điểm P trên mặt phẳng, nằm ngoài ba đường tròn, dựng sáu điểm A_1, B_1, A_2, B_2, A_3, B_3 như sau: Với mỗi i=1,2,3, A_i, B_i là các điểm phân biệt trên đường tròn \Gamma_i sao cho các đường thẳng PA_i và PB_i đều là tiếp tuyến của \Gamma_i. Gọi điểm P là điểm ngoại lệ nếu, từ cách dựng trên, ba đường thẳng A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3 đồng quy. Chứng minh rằng mọi điểm ngoại lệ trên mặt phẳng, nếu tồn tại, đều nằm trên cùng một đường tròn.

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k, tồn tại một cấp số cộng \frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \dots, \frac{a_k}{b_k} gồm các số hữu tỉ, trong đó a_i, b_i là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với mỗi i=1,2,\dots,k, sao cho các số nguyên dương a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_k, b_k đều phân biệt.

Bài 5. Larry và Rob là hai robot đi cùng một chiếc xe từ Argovia đến Zillis. Cả hai robot đều có quyền điều khiển vô lăng và rẽ theo thuật toán sau: Larry rẽ trái 90^\circ sau mỗi l kilômét lái xe tính từ điểm xuất phát; Rob rẽ phải 90^\circ sau mỗi r kilômét lái xe tính từ điểm xuất phát, trong đó l và r là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Trong trường hợp cả hai lượt rẽ xảy ra đồng thời, xe sẽ tiếp tục đi thẳng mà không chuyển hướng. Giả sử mặt đất bằng phẳng và xe có thể di chuyển theo bất kỳ hướng nào. Giả sử xe xuất phát từ Argovia và hướng về phía Zillis. Với những lựa chọn nào của cặp (l, r) thì xe được đảm bảo sẽ đến Zillis, bất kể khoảng cách từ Argovia là bao xa?

Japan Mathematical Olympiad 2008 (Finals)


Bài 1. Cho P(x) là một đa thức với hệ số nguyên sao cho P(n^{2})=0 với một số nguyên khác không n nào đó. Chứng minh rằng P(a^{2})\ne1 với mọi số hữu tỉ a\ne0.

Bài 2. Có 2008 thẻ đỏ và 2008 thẻ trắng. 2008 người chơi ngồi thành một vòng tròn hướng mặt vào trong, với tình trạng ban đầu là mỗi người được chia 2 thẻ. Mỗi người thực hiện quy trình sau trong cùng một lượt:
(*) Nếu bạn có nhiều hơn một thẻ đỏ, bạn sẽ chuyển một thẻ đỏ cho người ngồi liền kề bên trái.

Nếu bạn không có thẻ đỏ nào, bạn sẽ chuyển một thẻ trắng cho người ngồi liền kề bên trái.
Tìm giá trị lớn nhất của số lượt cần thiết để đạt được trạng thái mà tất cả mọi người đều có một thẻ đỏ và một thẻ trắng lần đầu tiên.

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O. Đường tròn đi qua hai điểm A, O cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại P, Q (khác A). Nếu độ dài các đoạn thẳng PQ và BC bằng nhau, hãy tìm góc \le90^{\circ} tạo bởi hai đường thẳng PQ và BC.

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} thỏa mãn f(x+y)f(f(x)-y)=xf(x)-yf(y) với mọi x,y\in\mathbb{R}.

Bài 5. Có tồn tại hay không một số nguyên dương n sao cho với mọi số hữu tỉ r, tồn tại một số nguyên b và các số nguyên khác không a_{i} (i=1,2,\dots, n) thỏa mãn r=b+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}?

Seven bridges of Konigsberg


Tôi sẽ dịch một đoạn trong bài Leonard Euler’s Solution to the Konigsberg Bridge Problem của Teo Paoletti. Khi tình cờ gặp bài viết này tôi đã quyết định sử dụng nó làm bài mở đầu trong bài giảng về lý thuyết đồ thị của tôi.

Câu chuyện của chúng ta bắt đầu vào thế kỷ 18, tại thị trấn cổ kính Konigsberg, Phổ, bên bờ sông Pregel. Năm 1254, các hiệp sĩ Teutonic thành lập thành phố Konigsberg dưới sự lãnh đạo của Vua Bohemian Ottoker II sau cuộc thập tự chinh thứ hai chống lại quân Phổ. Vào thời Trung cổ, Konigsberg đã trở thành một thành phố và trung tâm thương mại rất quan trọng với vị trí chiến lược bên sông. Các tác phẩm nghệ thuật từ thế kỷ 18 cho thấy Konigsberg là một thành phố thịnh vượng, nơi các đội tàu cập bến Pregel, và hoạt động buôn bán của họ mang lại cuộc sống thoải mái cho cả thương nhân địa phương và gia đình họ. Nền kinh tế phát triển cho phép người dân thành phố xây dựng bảy cây cầu bắc qua sông, hầu hết trong số đó nối với đảo Kneiphof, vị trí của chúng có thể được thấy trong hình dưới đây.

Khi dòng sông chảy quanh Kneiphof và một hòn đảo khác, nó chia thành phố thành bốn vùng độc lập. Theo truyền thuyết, người dân Konigsberg thường dành những buổi chiều Chủ nhật để đi dạo quanh thành phố xinh đẹp của họ. Trong khi đi bộ, người dân thành phố quyết định tạo ra một trò chơi cho chính họ. Mục tiêu là nghĩ ra cách để có thể đi bộ quanh thành phố mà chỉ băng qua mỗi cây cầu đúng một lần. Mặc dù không ai ở Konigsberg có thể phát hiện ra một tuyến đường như vậy, nhưng họ vẫn không thể chứng minh được rằng điều đó là không thể. May mắn cho họ, Konigsberg không quá xa St. Petersburg, quê hương của nhà toán học nổi tiếng Leonard Euler.

Tại sao Euler lại quan tâm đến một vấn đề không liên quan đến lĩnh vực toán học như vậy? Tại sao một nhà toán học vĩ đại như vậy lại dành nhiều thời gian cho một bài toán tầm thường như bài toán cây cầu Konigsberg? Euler rõ ràng là một người bận rộn, đã xuất bản hơn 500 cuốn sách và bài báo trong suốt cuộc đời của mình. Riêng năm 1775, trung bình mỗi tuần ông viết một bài báo toán học, và trong suốt cuộc đời mình, ông viết về nhiều chủ đề khác nhau ngoài toán học bao gồm cơ học, quang học, thiên văn học, hàng hải và thủy động lực học. Không có gì đáng ngạc nhiên khi Euler cảm thấy vấn đề này thật tầm thường, ông viết trong một bức thư năm 1736 gửi cho Carl Leonhard Gottlieb Ehler, thị trưởng của Danzig, người đã nhờ ông đưa ra lời giải cho bài toán:

“…Vì vậy, thưa ngài, ngài thấy đấy, bài toán này ít liên quan đến toán học như thế nào, và tôi không hiểu tại sao ngài lại mong đợi một nhà toán học tìm ra nó chứ không phải bất kỳ ai khác, vì lời giải chỉ dựa trên lý trí và khám phá ra nó. Không phụ thuộc vào bất kỳ nguyên tắc toán học nào. Vì điều này, tôi không biết tại sao ngay cả những câu hỏi ít liên quan đến toán học cũng được các nhà toán học giải nhanh hơn những người khác.”

Mặc dù Euler thấy vấn đề tầm thường nhưng ông vẫn bị hấp dẫn bởi nó. Trong một bức thư viết cùng năm cho Giovanni Marinoni, một nhà toán học và kỹ sư người Ý, Euler nói:

“Câu hỏi này thật tầm thường, nhưng đối với tôi, dường như nó đáng được chú ý bởi cả hình học, đại số, thậm chí cả nghệ thuật đếm cũng không đủ để giải quyết nó.”

Euler tin rằng vấn đề này có liên quan đến một chủ đề mà Gottfried Wilhelm Leibniz đã từng thảo luận và mong muốn được làm việc cùng, chủ đề mà Leibniz gọi là geometria situs, hay hình học vị trí. Cái gọi là hình học vị trí này là cái ngày nay ta gọi là lý thuyết đồ thị.

Continue reading “Seven bridges of Konigsberg” →