Day: August 1, 2025

Formal power series


Định nghĩa 1. Một chuỗi lũy thừa hình thức là một biểu diễn có dạng

          a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots,

hay gọn hơn \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k. Trong đó (a_n)_{n\geq 0} là một dãy các số phức. Các a_i được gọi là các hệ số của chuỗi lũy thừa hình thức, a_0 được gọi là hệ số tự do của chuỗi lũy thừa hình thức. 

Từ “hình thức” trong định nghĩa trên có nghĩa là ta không bận tâm đến việc cho x các giá trị đặc biệt, ta cũng không quan tâm đến tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Tập tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số thuộc một tập hợp A được ký hiệu bởi A[[x]]. Với một chuỗi lũy thừa hình thức a(x), ta ký hiệu hệ số của x^n trong chuỗi này bởi [x^n]a(x).

Nếu a_i=0 với mọi i>m thì để cho gọn, chuỗi \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n sẽ được viết là

a_0+a_1x+\ldots+a_mx^m.

Chuỗi lũy thừa hình thức với tất cả các hệ số bằng 0 được gọi là chuỗi không, ký hiệu là 0. Tổng và tích của hai chuỗi lũy thừa hình thức \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n và \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n được định nghĩa bởi

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n+\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n

và

\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)x^n.

Với hai phép toán này thì \mathbb{C}[[x]] là một vành giao hoán có đơn vị là chuỗi đơn vị 1+0x^1+0x^2+0x^3+\ldots, ký hiệu là 1.

Tương tự như với các số phức, ta có kết quả sau:

Định lý 1. Nếu a và b là các phần tử khác không của \mathbb{C}[[x]], thì chuỗi tích ab cũng khác chuỗi không.

Chứng minh. Gọi m là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho [x^m]a\not=0, và n là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho [x^n]b\not=0. Khi đó

[x^{m+n}](ab)=([x^m]a)([x^n]b)\not=0,

suy ra ab khác chuỗi không. \Box

Khác với phép nhân trong tập các số phức, không phải mọi chuỗi khác không đều có nghịch đảo. Chẳng hạn, khi a(x)=0+x+0x^2+0x^3+\ldots, (chuỗi này thường được viết là a(x)=x) thì a(x)\not=0 nhưng không có chuỗi b(x) để a(x)b(x)=1.

Định lý 2. Chuỗi a(x) có nghịch đảo khi và chỉ khi [x^0]a(x)\not=0.

Chứng minh. Giả sử chuỗi a(x) có nghịch đảo, và b(x) là nghịch đảo của nó. Khi đó

1=[x^0](ab)=([x^0]a)([x^0]b),

suy ra [x^0]a(x)\not=0.

Bây giờ giả sử \displaystyle a(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n là một chuỗi lũy thừa hình thức có a_0=[x^0]a(x)\not=0. Chuỗi lũy thừa hình thức \displaystyle b(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n là nghịch đảo của a(x) khi và chỉ khi a_0b_0=1 và

\displaystyle\sum _{k=0}^na_kb_{n-k}=0,\quad\forall n\geq 1.

Từ hệ này ta có thể xác định b(x) bởi b_0=1/a_0 và

\displaystyle b_n=-\frac{1}{a_0}\sum _{k=1}^na_kb_{n-k},\quad\forall n\geq 1. \Box

Khi a là một chuỗi có nghịch đảo thì ta ký hiệu chuỗi nghịch đảo của nó bởi a^{-1}. Tích của chuỗi b và chuỗi a^{-1} thường được viết là \frac{b}{a}.

Ví dụ. Chuỗi lũy thừa hình thức 1-x có nghịch đảo là chuỗi

\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots

Định nghĩa 2. Dãy các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số phức \{S_n(x)\}_{n\geq 1} được gọi là hội tụ đến chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số phức S(x), ký hiệu \displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n(x)=S(x), nếu với mỗi n\geq 0 có số nguyên dương N sao cho [x^n]S_i(x)=[x^n]S(x) mỗi khi i\geq N. Trong trường hợp này ta nói \{S_n(x)\}_{n\geq 1} là một dãy hội tụ.

Khi \displaystyle A(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n là một phần tử khác không của \mathbb{C}[[x]], ta gọi bậc của A(x), ký hiệu \deg A(x), là số n nhỏ nhất sao cho a_n\not=0. Dễ thấy nếu B(x) và C(x) là các phần tử khác không của \mathbb{C}[[x]] thì B(x)C(x) cũng là một phần tử khác không của \mathbb{C}[[x]], và

\deg B(x)C(x)=\deg B(x)+\deg C(x).

Ta quy ước \deg 0=\infty. Sử dụng bậc của một chuỗi lũy thừa hình thức ta có một định nghĩa khác của tính hội tụ của dãy các chuỗi lũy thừa hình thức.

Continue reading “Formal power series” →