Viet Nam TST 2025/1

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lời giải của bài 1 trong kỳ thi chọn đội IMO 2025 của Việt Nam.

VNTST2025/1. Tìm tất cả các hàm số sao cho với mỗi số hữu tỷ dương và , ta có

Lời giải. Trả lời: hoặc . Kiểm tra ta thấy hai hàm số này thỏa mãn các yêu cầu của đề bài, sau đây ta chứng minh không còn hàm số nào khác.

Giả sử là một hàm số thỏa mãn các yêu cầu của đề bài. Khi đó với mỗi số hữu tỷ dương và ,

Gọi là tập các số thực dương có dạng , trong đó là một số hữu tỷ dương. Xét hàm số xác định bởi với mọi số hữu tỷ dương . Từ ta được

với mọi số hữu tỷ dương và . (2)

Từ , với ta thu được . Cũng từ , với mỗi số hữu tỷ dương và ta có là một số hữu tỷ. Suy ra là một số hữu tỷ với mọi số hữu tỷ dương và . Nói riêng, khi ta có là một số hữu tỷ dương với mọi số hữu tỷ dương . Trong , chọn và ta có

Cũng từ , với ta có

với mọi số hữu tỷ dương . (4)

Từ đây ta tính được cả ba số , và theo . Thay lại và chú ý là một số hữu tỷ dương ta có . Đến đây ta xét từng trường hợp.

Trường hợp 1: .

Bằng quy nạp theo , từ (4) ta có và

với mọi số nguyên dương và số hữu tỷ dương . (5)

Bây giờ xét một số hữu tỷ dương . Tồn tại vô hạn số nguyên dương sao cho là một số nguyên dương. Với các số này, từ (2) ta có

Như vậy không đổi, kết hợp với (5) ta có . Suy ra với mọi số hữu tỷ dương .

Trường hợp 2: .

Bằng quy nạp theo , từ (4) ta có và

với mọi số nguyên dương và số hữu tỷ dương . (6)

Bây giờ xét một số hữu tỷ dương . Tồn tại số nguyên dương sao cho là một số nguyên dương. Trong (2), chọn và , đồng thời dùng (6) ta có . Suy ra với mọi số hữu tỷ dương .

Như vậy hoặc .