March 2025 – T's Lab

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một lời giải của bài 1 trong kỳ thi chọn đội IMO 2025 của Việt Nam.

VNTST2025/1. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ sao cho với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ , ta có

$\displaystyle\frac{f(x)f(y)}{f(xy)}=\frac{(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)})^2}{f(x+y)}.$

Lời giải. Trả lời: $f(x)=4,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ hoặc $f(x)=x^2,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ . Kiểm tra ta thấy hai hàm số này thỏa mãn các yêu cầu của đề bài, sau đây ta chứng minh không còn hàm số nào khác.

Giả sử $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ là một hàm số thỏa mãn các yêu cầu của đề bài. Khi đó với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ ,

$\displaystyle\frac{f(x)f(y)}{f(xy)}=\frac{(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)})^2}{f(x+y)}.\quad\quad (1)$

Gọi $S$ là tập các số thực dương có dạng $\sqrt{r}$ , trong đó $r$ là một số hữu tỷ dương. Xét hàm số $g:\mathbb{Q}^+\to S$ xác định bởi $g(x)=\sqrt{f(x)}$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ . Từ $(1)$ ta được

$\displaystyle\frac{g(x)g(y)}{g(xy)}=\frac{g(x)+g(y)}{g(x+y)}$

với mọi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ . (2)

Từ $(2)$ , với $x=y=1$ ta thu được $g(2)=2$ . Cũng từ $(2)$ , với mỗi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ ta có $(g(x)+g(y))^2$ là một số hữu tỷ. Suy ra $g(x)g(y)$ là một số hữu tỷ với mọi số hữu tỷ dương $x$ và $y$ . Nói riêng, khi $y=2$ ta có $g(x)$ là một số hữu tỷ dương với mọi số hữu tỷ dương $x$ . Trong $(2)$ , chọn $y=2$ và $x=3$ ta có

$\displaystyle\frac{2g(3)}{g(6)}=\frac{g(3)+2}{g(5)}.\quad (3)$

Cũng từ $(2)$ , với $y=1$ ta có

$\displaystyle g(x+1)=\frac{1}{g(1)}g(x)+1$

với mọi số hữu tỷ dương $x$ . (4)

Từ đây ta tính được cả ba số $g(3)$ , $g(5)$ và $g(6)$ theo $g(1)$ . Thay lại $(3)$ và chú ý $g(1)$ là một số hữu tỷ dương ta có $g(1)\in \{1;2\}$ . Đến đây ta xét từng trường hợp.

Trường hợp 1: $g(1)=2$ .

Bằng quy nạp theo $n$ , từ (4) ta có $g(n)=2$ và

$\displaystyle g(x+n)=\frac{1}{2^n}g(x)+2-\frac{1}{2^{n-1}}$

với mọi số nguyên dương $n$ và số hữu tỷ dương $x$ . (5)

Bây giờ xét một số hữu tỷ dương $r$ . Tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $rn$ là một số nguyên dương. Với các số $n$ này, từ (2) ta có

$\displaystyle g(r)=\frac{g(r)+2}{g(r+n)}.$

Như vậy $g(r+n)$ không đổi, kết hợp với (5) ta có $g(r)=2$ . Suy ra $g(x)=2$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ .

Trường hợp 2: $g(1)=1$ .

Bằng quy nạp theo $n$ , từ (4) ta có $g(n)=n$ và

$g(x+n)=g(x)+n$ với mọi số nguyên dương $n$ và số hữu tỷ dương $x$ . (6)

Bây giờ xét một số hữu tỷ dương $r$ . Tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $rn$ là một số nguyên dương. Trong (2), chọn $x=r$ và $y=n$ , đồng thời dùng (6) ta có $g(r)=r$ . Suy ra $g(x)=x$ với mọi số hữu tỷ dương $x$ .

Như vậy $f(x)=4,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ hoặc $f(x)=x^2,\,\forall x\in \mathbb{Q}^+$ . $\Box$

Hình học : https://nttuan.org/2024/11/02/isl2023-geometry/

Đại số: https://nttuan.org/2025/01/23/isl2023-algebra/

Số học: https://nttuan.org/2025/02/13/isl2023-number-theory/

C1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359749p31218491

Cho $m$ và $n$ là các số nguyên lớn hơn $1$ . Trong mỗi ô vuông đơn vị của lưới $m\times n$ có một đồng xu với mặt trái hướng lên trên. Một phép toán bao gồm các bước sau.

chọn một hình vuông $2\times 2$ trong lưới;
lật các đồng xu ở ô đơn vị trên cùng bên trái và dưới cùng bên phải;
lật đồng xu ở ô vuông đơn vị trên cùng bên phải hoặc dưới cùng bên trái.

Xác định tất cả các cặp $(m,n)$ sao cho mọi đồng xu đều hiện mặt phải sau một số hữu hạn lần thực hiện phép toán.

C2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359755p31218537

Xác định số nguyên dương $L$ lớn nhất sao cho tồn tại một dãy các số nguyên dương $a_1,\dots,a_L$ có tính chất: mỗi số hạng của dãy không lớn hơn $2^{2023}$ , và không có các số hạng liên tiếp $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (ở đây $1\le i\le j\le L$ ) với một cách chọn dấu $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ để

$s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.$

C3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107350p28104367

Cho $n$ là một số nguyên dương. Một tam giác Nhật Bản gồm $1+2+\cdots+n$ hình tròn được xếp thành một hình tam giác đều sao cho với mỗi $i = 1, 2, ..., n$ , hàng thứ $i$ có đúng $i$ hình tròn và trên hàng đó có đúng một hình tròn được tô màu đỏ. Một đường đi ninja trong một tam giác Nhật Bản là một dãy gồm $n$ hình tròn nhận được bằng cách xuất phát từ hàng trên cùng, đi lần lượt từ một hình tròn xuống một trong hai hình tròn ngay dưới nó, và kết thúc tại hàng dưới cùng. Trong hình vẽ là một tam giác Nhật Bản với $n = 6$ và một đường đi ninja có chứa hai hình tròn màu đỏ.

Như một hàm số của $n$ , tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho trong mỗi tam giác Nhật Bản luôn có một đường đi ninja chứa ít nhất $k$ hình tròn màu đỏ. (IMO2023/5)

C4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359724p31218375

Cho $n\geqslant 2$ là một số nguyên dương. Paul có một dải hình chữ nhật cỡ $1\times n^2$ gồm $n^2$ hình vuông đơn vị, trong đó hình vuông thứ $i$ được gắn nhãn $i$ với mọi $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Anh ta muốn cắt dải giấy thành nhiều mảnh, trong đó mỗi mảnh bao gồm một số ô vuông đơn vị liên tiếp, sau đó dịch chuyển (không xoay hoặc lật) các mảnh để thu được hình vuông $n\times n$ thỏa mãn tính chất sau: nếu hình vuông đơn vị trong hàng $i$ và cột $j$ được gắn nhãn $a_{ij}$ , thì $a_{ij}-(i+j -1)$ chia hết cho $n$ .

Xác định số mảnh nhỏ nhất mà Paul cần tạo để hoàn thành việc này.

C5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359765p31218619

Elisa có $latex $2023$ rương kho báu, tất cả đều được mở khóa và trống rỗng lúc đầu. Mỗi ngày, Elisa thêm một viên đá quý mới vào một trong những chiếc rương đã mở khóa mà cô ấy chọn, và sau đó, một cô tiên sẽ hành động theo các quy tắc sau:

nếu có nhiều hơn một rương được mở khóa, cô sẽ khóa một trong số chúng, hoặc
nếu chỉ có một rương được mở khóa, cô sẽ mở khóa tất cả các rương.

Cho rằng quá trình này diễn ra mãi mãi, hãy chứng minh rằng tồn tại một hằng số $C$ với tính chất sau: Elisa có thể đảm bảo rằng chênh lệch giữa số viên ngọc trong hai rương bất kỳ không bao giờ vượt quá $latex $C$, bất kể cô tiên hành động như thế nào.

C6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359747p31218478

Cho $N$ là một số nguyên dương và xét một lưới $N \times N$ các ô vuông. Đường dẫn xuống bên phải là một dãy các ô lưới sao cho mỗi ô là một ô ở bên phải hoặc một ô bên dưới ô trước đó trong chuỗi. Đường dẫn lên bên phải là một chuỗi các ô lưới sao cho mỗi ô là một ô ở bên phải hoặc một ô phía trên ô trước đó trong chuỗi.

Chứng minh rằng không thể phân chia các ô của lưới $N \times N$ thành ít hơn $N$ vùng sao cho mỗi vùng là một đường dẫn xuống bên phải xuống hoặc một đường dẫn lên bên phải.

Chẳng hạn, lưới $5 \times 5$ có thể phân chia thành $5$ vùng như hình vẽ.

C7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359751p31218524

Quần đảo Imomi bao gồm $n\geq 2$ hòn đảo. Giữa mỗi cặp đảo khác nhau có một tuyến phà duy nhất chạy theo cả hai hướng và mỗi tuyến phà được điều hành bởi một trong $k$ công ty. Được biết, nếu bất kỳ công ty nào đóng cửa tất cả các tuyến phà của mình thì một du khách, bất kể bắt đầu từ đâu, sẽ không thể ghé thăm tất cả các hòn đảo đúng một lần (đặc biệt là không quay lại hòn đảo mà du khách bắt đầu). Xác định giá trị lớn nhất có thể có của $k$ theo $n$ .

Month: March 2025

Viet Nam TST 2025/1

IMO Shortlist 2023: Combinatorics