IMO Shortlist 2023: Geometry

G1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359760p31218557

Cho $ABCDE$ là một ngũ giác lồi thỏa mãn $\angle ABC = \angle AED = 90^\circ.$ Giả sử trung điểm của $CD$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE$ . Gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ . Chứng minh rằng đường thẳng $AO$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BE$ .

G2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359729p31218382

Cho tam giác $ABC$ với $AC > BC$ . Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ , và $r$ là bán kính của nó. Điểm $P$ được chọn trên ${AC}$ sao cho $BC=CP,$ và điểm $S$ là chân đường vuông góc hạ từ $P$ xuống ${AB}$ . Tia $BP$ cắt lại $\omega$ tại $D$ . Điểm $Q$ được chọn trên đường thẳng $SP$ sao cho $PQ = r$ và $S$ , $P$ , $Q$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Cuối cùng, gọi $E$ là một điểm thỏa mãn ${AE} \perp {CQ}$ và ${BE} \perp {DQ}$ . Chứng minh rằng $E$ nằm trên $\omega$ .

G3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359737p31218405

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ với $\angle BAD < \angle ADC$ . Gọi $M$ là trung điểm của cung $CD$ không chứa $A$ . Giả sử có một điểm $P$ nằm trong $ABCD$ sao cho $\angle ADB = \angle CPD$ và $\angle ADP = \angle PCB$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $AD$ , $PM$ , và $BC$ đồng quy.

G4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3106748p28097552

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB<AC$ . Gọi $S$ là điểm chính giữa của cung $BC$ chứa $A$ của $(ABC)$ . Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BC$ cắt $BS$ tại $D$ và cắt lại $(ABC)$ tại $E$ . Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt $BE$ tại $L$ . $(BDL)$ cắt lại $(ABC)$ tại $P$ . Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(BDL)$ tại $P$ cắt $BS$ trên phân giác của góc $BAC$ . (IMO2023/2)

G5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359731p31218385

Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\omega$ có tâm là $O$ . Các điểm $D\neq B$ và $E\neq C$ nằm trên $\omega$ sao cho $BD\perp AC$ và $CE\perp AB$ . Giả sử $CO$ cắt $AB$ tại $X$ , và $BO$ cắt $AC$ tại $Y$ . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BXD$ và $CYE$ cùng đi qua một điểm thuộc đường thẳng $AO$ .

G6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359733p31218391

Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp $\omega$ . Một đường tròn $\Gamma$ tiếp xúc trong với $\omega$ tại $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $D$ . Các đường thẳng $AB$ và $AC$ cắt $\Gamma$ lần lượt tại $P$ và $Q$ . Gọi $M$ và $N$ là các điểm nằm trên $BC$ sao cho $B$ là trung điểm của $DM$ và $C$ là trung điểm của $DN$ . Các đường thẳng $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại $K$ , và cắt lại $\Gamma$ lần lượt tại $I$ và $J$ . Tia $KA$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IJK$ tại $X\neq K$ . Chứng minh rằng $\angle BXP = \angle CXQ$ .

G7. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359736p31218400

Cho tam giác nhọn $ABC$ với trực tâm $H$ . Gọi $\ell_a$ là đường thẳng đi qua điểm đối xứng với $B$ qua $CH$ và điểm đối xứng với $C$ qua $BH$ . Các đường thẳng $\ell_b$ và $\ell_c$ được xác định tương tự. Giả sử ba đường thẳng $\ell_a$ , $\ell_b$ , và $\ell_c$ xác định một tam giác $\mathcal T$ . Chứng minh rằng trực tâm của $\mathcal T$ , tâm đường tròn ngoại tiếp của $\mathcal T$ , và $H$ thẳng hàng.

G8. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3107345p28104331

Cho $ABC$ là một tam giác đều. Gọi $A_1,B_1,C_1$ là các điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , và

$\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ.$

Giả sử $BC_1$ và $CB_1$ cắt nhau tại $A_2,$ $CA_1$ và $AC_1$ cắt nhau tại $B_2$ , $AB_1$ và $BA_1$ cắt nhau tại $C_2.$ Chứng minh rằng nếu tam giác $A_1B_1C_1$ là tam giác không cân thì ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AA_1A_2, BB_1B_2$ và $CC_1C_2$ đi qua hai điểm chung. (IMO2023/6)