Month: September 2024

Discrete random variables


Ta thường không quan tâm đến thí nghiệm mà chỉ quan tâm đến một số hệ quả từ thí nghiệm đó. Chẳng hạn, những tay cờ bạc chỉ quan tâm đến số tiền họ được hay mất, không quan tâm mấy đến trò chơi. Nhiều hệ quả từ thí nghiệm có thể được biểu diễn  bằng một hàm trên không gian mẫu của thí nghiệm.

Định nghĩa 1. Cho một không gian xác suất (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}). Một biến ngẫu nhiên là một hàm X:\Omega\to\mathbb{R} sao cho với mỗi x\in\mathbb{R}, \{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\leq x\}\in\mathcal{F}.

Một biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận giá trị trong một tập hợp đếm được.

Không khó khăn lắm để thấy rằng nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên rời rạc) thì X+Y, XY, và \alpha X (\alpha\in\mathbb{R}) cũng là các biến ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên rời rạc).

Định nghĩa 2. Cho một không gian xác suất (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) và một biến ngẫu nhiên X:\Omega\to\mathbb{R}. Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X là hàm F_X:\mathbb{R}\to [0;1] xác định bởi

F_X(x)=\mathbb{P}(\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\leq x\}),\quad\forall x\in\mathbb{R}.

Để cho gọn, ta viết sự kiện \{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\leq x\} bởi \{ X\leq x\}. Khi đó xác suất \mathbb{P}(\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\leq x\}) sẽ được viết là \mathbb{P}( X\leq x).

Ví dụ 1. Tung một đồng xu hai lần. Không gian mẫu của phép thử là \Omega =\{NN,SS,SN,NS\}. Xét biến ngẫu nhiên X, số mặt ngửa, xác định bởi

X(NN)=2, X(SS)=0, X(SN)=1, X(NS)=1.

Hàm phân bố của F_X:\mathbb{R}\to [0;1] của X xác định bởi

F_X(x)=\begin{cases}0,\quad x<0\\ 1/4,\quad 0\leq x<1\\ 3/4,\quad 1\leq x<2\\ 1,\quad x\geq 2.\end{cases}

Ví dụ 2. Xét không gian xác suất (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) và một biến cố A. Hàm chỉ báo của A là hàm I_A: \Omega\to \mathbb{R} xác định bởi

I_A(\omega)=\begin{cases}1,\quad \omega\in A\\ 0,\quad \omega\not\in A.\end{cases}

Ta thấy I_A là một biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm phân bố F:\mathbb{R}\to [0;1] xác định bởi

F(x)=\begin{cases}0,\quad x<0\\ 1-\mathbb{P}(A),\quad 0\leq x<1\\ 1,\quad x\geq 1. \end{cases}

Nếu \{A_i\}_{i\in I} là một họ các biến cố đôi một rời nhau sao cho \displaystyle A\subset \bigcup_{i\in I} A_i thì

I_A(\omega)=\sum_{i\in I}I_{A\cap A_i}(\omega),\quad \forall \omega\in \Omega. \Box

Định lý 1. Hàm phân bố F_X của biến ngẫu nhiên X có các tính chất sau

(a) với mỗi số thực x_1 và x_2, nếu x_1<x_2 thì F_X(x_1)\leq F_X(x_2).

(b) \displaystyle \lim_{x\to -\infty}F_X(x)=0 và \displaystyle \lim_{x\to +\infty}F_X(x)=1.

(c) F_X liên tục phải tại mọi điểm.

Chứng minh. Xét hai số thực x_1 và x_2 với x_1<x_2. Biến cố \{X\leq x_2\} là hợp của hai biến cố rời nhau \{X\leq x_1\} và \{x_1<X\leq x_2\} nên

F_X(x_2)=\mathbb{P}(X\leq x_2)=\mathbb{P}(X\leq x_1)+\mathbb{P}(x_1<X\leq x_2)\geq \mathbb{P}(X\leq x_1)=F_X(x_1).

Ta có \{X\leq n\}_{n\geq 1} là một dãy tăng các sự kiện có hợp bằng \Omega, theo định lý 1 trong [1], ta có

1=\mathbb{P}(\Omega)=\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{+\infty}\{X\leq n\}\right)=\lim_{n\to +\infty}\mathbb{P}(X\leq n),

kết hợp với tính đơn điệu của F_X ta được \displaystyle \lim_{x\to +\infty}F_X(x)=1. Tính chất \displaystyle \lim_{x\to -\infty}F_X(x)=0 được chứng minh theo cách tương tự.

Bây giờ xét một số thực x_0. Ta thấy \{x_0<X\leq x_0+\frac{1}{n}\}_{n\geq 1} là một dãy giảm các sự kiện có giao bằng rỗng, theo định lý 2 trong [1], ta có

0=\mathbb{P}\left(\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left\{x_0<X\leq x_0+\frac{1}{n}\right\}\right)=\lim_{n\to +\infty}\left(F_X\left(x_0+\frac{1}{n}\right)-F_X(x_0)\right),

kết hợp với tính đơn điệu của F_X ta có F_X liên tục phải tại x_0. \Box

Continue reading “Discrete random variables” →