Tree

Một đồ thị không chứa chu trình được gọi là một rừng. Một rừng liên thông được gọi là một cây.

Ví dụ 1. Cho $G$ là một cây trên $n>1$ đỉnh. Chứng minh rằng $G$ có ít nhất hai lá, và nếu $v$ là một lá thì $G\setminus\{v\}$ là một cây.

Hướng dẫn. Trong các đường đi của $G$ , quan tâm đến một đường đi dài nhất. Chứng minh hai đầu của nó là lá. Chỉ ra $G\setminus\{v\}$ là một rừng liên thông. $\Box$

Định lý 1. Với một đồ thị $G$ , các khẳng định sau là tương đương:

(1) $G$ là một cây;

(2) Mỗi hai đỉnh của $G$ được nối với nhau bởi một đường đi duy nhất trong $G$ ;

(3) $G$ là đồ thị liên thông và với mỗi cạnh $e$ , đồ thị có được từ $G$ bằng cách bỏ đi cạnh $e$ không phải là đồ thị liên thông;

(4) $G$ không chứa chu trình và với mỗi hai đỉnh không kề nhau $x$ và $y$ , đồ thị có được từ $G$ bằng cách thêm vào cạnh $xy$ chứa một chu trình.

Chứng minh. Giả sử $G$ là một cây và $x$ , $y$ là hai đỉnh của $G$ . Vì $G$ là đồ thị liên thông nên có một đường đi nối $x$ và $y$ , ký hiệu là $\alpha$ . Nếu có một đường đi khác đường đi này nối $x$ và $y$ , ký hiệu là $\beta$ , gọi $z$ là đỉnh chung gần $x$ nhất của hai đường đi. Đường đi từ $x$ đến $z$ dọc theo $\alpha$ hợp với đường đi từ $z$ đến $x$ dọc theo $\beta$ tạo thành một chu trình, vô lý. Vậy ta đã chứng minh $(1)\Rightarrow (2)$ .

Xét một cạnh $e=xy$ của $G$ . Nếu đồ thị có được từ $G$ bằng cách bỏ đi cạnh $e$ là đồ thị liên thông, thì trong $G$ có một đường đi nối $x$ và $y$ mà không chứa $e$ . Đường đi này cùng với $e$ là hai đường đi nối $x$ và $y$ . Vậy ta đã chứng minh $(2)\Rightarrow (3)$ , vì nếu có $(2)$ thì đồ thị phải là đồ thị liên thông.

Bây giờ giả sử có $(3)$ . Trước tiên ta thấy $G$ không chứa chu trình, vì nếu không ta bỏ đi một cạnh của chu trình thì đồ thị mới vẫn liên thông, vô lý. Xét hai đỉnh không kề nhau $x$ và $y$ . Vì $G$ là đồ thị liên thông nên có đường đi nối $x$ và $y$ . Thêm cạnh $xy$ vào đường đi này ta có một chu trình trong đồ thị có được từ $G$ bằng cách thêm vào cạnh $xy$ . Vậy ta có $(4)$ .

Cuối cùng, ta giả sử có $(4)$ . Xét hai đỉnh phân biệt $x$ và $y$ . Nếu $x$ và $y$ kề nhau thì có đường đi nối $x$ và $y$ , là $xy$ chẳng hạn. Nếu $x$ và $y$ không kề nhau thì đồ thị có được từ $G$ bằng cách thêm vào cạnh $xy$ chứa một chu trình. Vì $G$ không chứa chu trình nên chu trình này chứa $xy$ , bỏ $xy$ ra khỏi nó ta có đường đi trong $G$ nối $x$ và $y$ . Vậy ta có $(1)$ . $\Box$

Hệ quả. Một đồ thị liên thông trên $n$ đỉnh là một cây khi và chỉ khi nó có $n-1$ cạnh.

Chứng minh. Giả sử $G$ là một cây trên $n$ đỉnh. Vì $G$ là đồ thị liên thông nên theo định lý 1 trong [4], ta có thể đánh số các đỉnh của $G$ là $v_1$ , $v_2$ , $\ldots$ , $v_n$ sao cho $G_i:=G[v_1,v_2,\ldots,v_i]$ là đồ thị liên thông với mọi $i$ . Do $G$ là một cây nên mỗi $G_i$ là một cây. Giả sử $G_i$ có $i-1$ cạnh với mọi chỉ số $i<k$ ( $k$ là một số nguyên dương sao cho $k\leq n$ ). Vì $G_k$ là liên thông nên với mỗi $i<k$ , có đường đi trong $G_k$ nối $v_i$ và $v_k$ . Trong tất cả các đường đi như thế, xét đường đi ngắn nhất và giả sử nó nối $v_1$ và $v_k$ . Đường đi này phải có độ dài bằng $1$ , hay $v_k$ và $v_1$ kề nhau trong $G$ . Vì $G$ không có chu trình nên trong $G_{k-1}$ , chỉ có đúng một đỉnh kề với $v_k$ , suy ra $G_k$ có $k-2+1=k-1$ cạnh. Theo nguyên lý quy nạp toán học, $G=G_n$ có $n-1$ cạnh.

Ngược lại, giả sử $G$ là một đồ thị liên thông trên $n$ đỉnh và có $n-1$ cạnh. Gọi $T$ là một đồ thị con bao trùm liên thông cực tiểu của $G$ . Do tính cực tiểu, khi bỏ mỗi cạnh ra khỏi $T$ thì đồ thị thu được không liên thông, suy ra theo định lý 1 thì $T$ là một cây. Cây này có số cạnh bằng $n-1$ theo phần đầu của chứng minh, do đó $T=G$ . $\Box$

Trong một số vấn đề, việc xét một cây với gốc sẽ rất thuận tiện. Giả sử có một cây $T$ và một đỉnh cố định $r$ , gọi là gốc của cây. Với hai đỉnh $x$ và $y$ của $T$ , có đúng một đường đi nối $x$ và $y$ , ta ký hiệu nó là $xTy$ . Với $a,b\in T$ , ta viết $a\leq_T b$ (hoặc $a\leq b$ khi không sợ nhầm lẫn) nếu $a\in rTb$ . Ta thấy $\leq_T$ là một quan hệ thứ tự bộ phận trên $T$ , gọi là thứ tự cây. Khi $a<b$ ta nói $b$ nằm trên $a$ , hay $a$ nằm dưới $b$ . Theo quan hệ thứ tự này thì $r$ là phần tử nhỏ nhất của $T$ , mỗi lá là phần tử cực đại. Hai đầu mút của mỗi cạnh của $T$ là so sánh được.

Ví dụ 2. Cho số nguyên $n$ lớn hơn $1$ và một cây trên $n$ đỉnh. Các đỉnh của cây được viết các số thực $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ . Mỗi cạnh của cây được viết tích của hai số được viết trên các đầu mút của cạnh, gọi $S$ là tổng tất cả các số này. Chứng minh rằng

$\displaystyle\sqrt{n-1}\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)\geq 2S.$

Lời giải. Giả sử tập các đỉnh của cây là $V=\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ sao cho với mỗi $i$ , số được viết trên $v_i$ là $x_i$ . Với hai đỉnh kề nhau $v_i$ và $v_j$ , gọi $P(i,j)$ là tập các đỉnh của cây không nối được đến $v_i$ bởi một đường đi sau khi xóa khỏi cây cạnh $v_iv_j$ . Ta có ngay $1\leq \mid P(i,j)\mid \leq n-1$ mỗi khi $v_i$ và $v_j$ kề nhau.

Nhận xét 1. Nếu $v_i$ và $v_j$ kề nhau thì $\mid P(i,j)\mid +\mid P(j,i)\mid=n$ .

Chứng minh. Gọi $v$ là một đỉnh của cây, và xem nó là gốc. Ta có $v_i$ và $v_j$ là so sánh được theo thứ tự cây. Nếu $v_i<v_j$ thì $v\in P(j,i)$ , nếu $v_j<v_i$ thì $v\in P(i,j)$ , nhưng không thể có cả hai. Như vậy $V$ được phân hoạch thành $P(i,j)$ và $P(j,i)$ , từ đây ta có điều cần chứng minh. $\Box$

Nhận xét 2. Với mỗi $i$ ,

$\displaystyle \sum_{v_j\in N(v_i)}\mid P(i,j)\mid =n-1$ .

Chứng minh. Cố định một chỉ số $i$ . Do mỗi đỉnh đều nối đến $v_i$ bởi một đường đi duy nhất và cây không có chu trình nên các $P(i,j)$ với $v_j\in N(v_i)$ làm thành một phân hoạch của $V\setminus\{v_i\}$ , từ đây ta có điều cần chứng minh. $\Box$

Bây giờ với mỗi cạnh $v_iv_j$ , theo nhận xét 1 ta có

$\displaystyle \mid P(i,j)\mid .\mid P(j,i)\mid=\frac{n^2-(\mid P(i,j)\mid -\mid P(j,i)\mid)^2}{4}\geq n-1,$

suy ra

$\displaystyle\frac{\mid P(i,j)\mid}{\sqrt{n-1}}x_i^2+\frac{\mid P(j,i)\mid}{\sqrt{n-1}}x_j^2\geq 2\sqrt{\frac{\mid P(i,j)\mid .\mid P(j,i)\mid}{n-1}}|x_ix_j|\geq 2x_ix_j.$