July 2, 2024 – T's Lab

Ngày thi thứ nhất (16/7/2024)

Bài 1. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358923

Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$ , số

$[\alpha]+[2\alpha]+\cdots+[n\alpha]$

chia hết cho $n$ .

Bài 2. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358926

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $g$ và $N$ thỏa mãn

$\gcd (a^n+b,b^n+a)=g$

với mọi số nguyên $n\geq N$ .

Bài 3. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3358932

Cho dãy vô hạn các số nguyên dương $(a_n)_{n\geq 1}$ và số nguyên dương $N$ . Giả sử với mọi số nguyên $n>N$ , $a_n$ bằng số lần xuất hiện của $a_{n-1}$ trong dãy số $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_{n-1}$ . Chứng minh rằng một trong hai dãy số $(a_{2n-1})_{n\geq 1}$ và $(a_{2n})_{n\geq 1}$ là tuần hoàn kể từ lúc nào đó.

Ngày thi thứ hai (17/7/2024)

Bài 4. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359767

Cho $ABC$ là một tam giác với $AB < AC < BC$ . Gọi tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ lần lượt là $I$ và $\omega$ . Gọi $X$ là điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $C$ , sao cho đường thẳng qua $X$ song song với $AC$ tiếp xúc với $\omega$ . Tương tự, gọi $Y$ là điểm trên đường thẳng $BC$ , khác $B$ , sao cho đường thẳng qua $Y$ song song với $AB$ tiếp xúc với $\omega$ . Đường thẳng $AI$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $P$ . Gọi $K$ và $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$ . Chứng minh rằng $\angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ}$ .

Bài 5. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359777

Ốc sên Turbo chơi trò chơi sau trên một bảng ô vuông cỡ $2024\times 2023$ . Trong $2022$ ô vuông con nào đó, có các con quỷ nấp ở đó. Ban đầu, Turbo không biết ô nào có quỷ, nhưng nó biết rằng trên mỗi hàng có đúng một con quỷ, trừ hàng đầu tiên và hàng cuối cùng, và trên mỗi cột có không quá một con quỷ.

Turbo thực hiện một dãy các phép thử để tìm cách đi từ hàng đầu đến hàng cuối của bảng. Tại mỗi lần thử, nó được quyền chọn một ô bất kỳ trên hàng đầu để xuất phát, sau đó liên tục di chuyển giữa các ô, mỗi bước từ một ô sang một ô có chung cạnh với ô mà nó đang đứng (nó được phép đến các ô đã từng đi qua). Nếu nó tới một ô có quỷ thì lần thử này dừng lại và nó được đưa trở lại hàng đầu để thực hiện một lần thử khác. Những con quỷ không di chuyển, và Turbo nhớ mỗi ô mà nó ghé qua có quỷ hay không. Nếu nó tới được một ô bất kỳ trên hàng cuối thì trò chơi kết thúc.

Xác định giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho Turbo luôn có chiến lược đảm bảo tới được hàng cuối cùng sau không quá $n$ lần thử, cho dù các con quỷ có nấp ở đâu.

Bài 6. https://artofproblemsolving.com/community/c6h3359771

Một hàm số $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ được gọi là đẹp nếu với mỗi số hữu tỷ $x$ và $y$ , $f(x+f(y))=f(x)+y$ hoặc $f(f(x)+y)=x+f(y)$ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $c$ sao cho với mọi hàm số đẹp $f$ , có không quá $c$ số hữu tỷ có dạng $f(r)+f(-r)$ , với số hữu tỷ $r$ nào đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của các số $c$ có tính chất này.