March 14, 2024 – T's Lab

Cúp Toán học Châu Âu (viết tắt là EMC) là một cuộc thi toán trung học do Hiệp hội các nhà Toán học trẻ tài năng Croatia Marin Getaldić (www.mnm.hr) tổ chức với sự hợp tác của nhiều giáo sư uy tín.

EMC thường diễn ra vào tháng 12 và các thí sinh có thể làm bài online. Sau cuộc thi, ban tổ chức địa phương sẽ gửi bản scan các bài giải của học sinh cho ban tổ chức EMC để chấm. Họ cũng có thể tự chấm các bài làm của học sinh. Kết quả chính thức sẽ được công bố trên trang web sớm nhất có thể sau khi tất cả các bài thi được chấm điểm.

Cuộc thi được chia thành hai hạng: Junior (học sinh dưới 17 tuổi vào ngày diễn ra cuộc thi và chưa từng tham gia IMO) và Senior (học sinh trung học khác hoặc học sinh tiểu học xuất sắc). Học sinh đáp ứng đủ tiêu chí để tham gia hạng Junior có thể chọn tham gia hạng Senior.

Thời lượng của cuộc thi cho cả hai hạng là 4 giờ. Trong thời gian đó, học sinh sẽ cố gắng giải 4 bài toán, mỗi bài toán thuộc một trong các lĩnh vực: đại số, tổ hợp, hình học và lý thuyết số. Theo mô hình của các cuộc thi quốc tế khác như IMO, các công cụ duy nhất được phép sử dụng trong cuộc thi là các công cụ viết và vẽ. Việc sử dụng các công thức, máy tính bỏ túi và các công cụ khác bị cấm. Về mặt kiến thức, các bài toán tương tự như các bài toán IMO, mặc dù các bài toán thuộc hạng Junior thường cơ bản hơn và ít yêu cầu kiến thức hơn.

Dưới đây là đề EMC 2023 hạng Senior:

Bài 1. Tìm tất cả các tập số thực $S$ sao cho:

(a) $1$ là phần tử nhỏ nhất của $S$ , và

(b) với mỗi $x,y\in S$ , nếu $x>y$ thì $\sqrt{x^2-y^2}\in S$ .

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ với $\angle BAC = 90^{\circ}$ . Đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ lần lượt tiếp xúc với ${BC}$ , ${CA}$ , ${AB}$ tại $D$ , $E$ , $F$ . Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng ${EF}$ . Ký hiệu $P$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$ và $K$ là giao điểm của $MP$ và $AD$ . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AFE$ và $PDK$ có bán kính bằng nhau.

Bài 3. Cho $n$ là một số nguyên dương. Gọi $B_n$ là tập hợp tất cả các xâu nhị phân có độ dài $n$ . Đối với xâu nhị phân $s_1s_2\ldots s_n$ , ta định nghĩa xoắn của nó là xâu nhị phân độ dài $n$ được xác định theo cách sau. Đầu tiên, ta đếm xem nó có bao nhiêu khối chữ số liên tiếp. Ký hiệu số này là $b$ . Sau đó, chúng ta thay $s_b$ bằng $1-s_b$ . Xâu $a$ được gọi là hậu duệ của xâu $b$ nếu $a$ có thể thu được từ $b$ thông qua một số hữu hạn lần xoắn. Một tập con của $B_n$ được gọi là bị chia nếu không có hai phần tử nào trong số các phần tử của nó có hậu duệ chung. Tìm số lượng phần tử lớn nhất có thể có của một tập con bị chia của $B_n$ .

Một ví dụ về xoắn: $101100 \rightarrow 101000$ vì $1\mid 0\mid 11\mid 00$ có $4$ khối chữ số liên tiếp.

Bài 4. Cho một hàm số $f\colon\mathbb{N}^*\rightarrow\mathbb{N}^*$ có tính chất: với mỗi số nguyên dương $x$ và $y$ , số $f(x)+y$ là số chính phương khi và chỉ khi số $x+f(y)$ là số chính phương. Chứng minh rằng $f$ là một đơn ánh.