Naive definition of probability

Phép thử ngẫu nhiên, hay phép thử, là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện, và khả năng xảy ra của các kết quả là như nhau. Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Kết quả thuận lợi cho một biến cố (sự kiện) $\displaystyle E$ liên quan đến phép thử $\displaystyle T$ là kết quả của phép thử $\displaystyle T$ làm cho biến cố $\displaystyle E$ xảy ra. Trong bài này ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu là một tập hợp hữu hạn.

Ví dụ 1. Tung một đồng xu, ta thấy có thể xảy ra một trong hai kết quả sấp ( $\displaystyle S$ ) hoặc ngửa ( $\displaystyle N$ ). Phép thử ngẫu nhiên ở đây là tung một đồng xu, không gian mẫu của phép thử là tập hợp $\displaystyle \Omega =\{S, N\}$ . Ta có thể để ý xem các biến cố sau có xảy ra không?

kết quả của phép thử là $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử không là $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử là $\displaystyle S$ hoặc $\displaystyle N$ .

kết quả của phép thử là $\displaystyle S$ và $\displaystyle N$ . $\Box$

Ví dụ 2. Xét phép thử ngẫu nhiên: tung một đồng xu bốn lần. Ta thấy một kết quả là $\displaystyle SNNS$ , và không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các dãy gồm $\displaystyle 4$ chữ cái thuộc $\displaystyle \{S,N\}$ . Chúng ta có thể mã hóa $\displaystyle S$ là $\displaystyle 1$ và $\displaystyle N$ là $\displaystyle 0$ , khi đó mỗi kết quả của phép thử là một dãy $\displaystyle (s_1,s_2,s_3,s_4)$ với các $\displaystyle s_j\in\{0;1\}$ và không gian mẫu của phép thử là tập tất cả các dãy như vậy.

Gọi $\displaystyle E_i$ là sự kiện lần tung thứ $\displaystyle i$ ra mặt ngửa. Tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle E_1$ , cũng được ký hiệu bởi $\displaystyle E_1$ , là

$\displaystyle E_1=\{(0,s_2,s_3,s_4)\mid s_j\in \{0;1\},\quad\forall j\}.$ Đây là một tập con của không gian mẫu.

Nếu $\displaystyle A$ là biến cố ít nhất một mặt là ngửa thì tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle A$ , cũng được ký hiệu bởi $\displaystyle A$ , là $\displaystyle A=E_1\cup E_2\cup E_3\cup E_4.$ Nếu $\displaystyle B$ là biến cố tất cả bốn lần tung đều hiện mặt ngửa thì tập các kết quả thuận lợi cho $\displaystyle B$ là $\displaystyle B=E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4.$ $\Box$

Ví dụ 3. Xét phép thử ngẫu nhiên: Chọn một quân bài từ $\displaystyle 52$ quân bài. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ của phép thử là tập tất cả $\displaystyle 52$ quân bài. Ta quan tâm đến bốn biến cố sau:

$\displaystyle A$ : Quân bài là một con Át.

$\displaystyle B$ : Quân bài có màu đen.

$\displaystyle C$ : Quân bài có chất Rô.

$\displaystyle D$ : Quân bài có chất Cơ.

Như một tập hợp $\displaystyle D=$ {Át cơ, 2 cơ , 3 cơ,…, K cơ}. Ta có thể tạo ra nhiều biến cố từ bốn biến cố này.

$\displaystyle A\cap B$ là biến cố quân bài rút ra là quân Át màu đen.

$\displaystyle A\cup C$ là biến cố quân bài rút ra là quân Át hoặc có chất Rô.

$\displaystyle A\cup C\cup D$ là sự kiện quân bài rút ra là quân Át hoặc có màu đỏ. $\Box$

Định nghĩa (Định nghĩa ngây thơ của xác suất). Cho $\displaystyle A$ là một biến cố (sự kiện) của một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu hữu hạn $\displaystyle \Omega$ . Khi đó xác suất của $\displaystyle A$ , hay xác suất xảy ra $\displaystyle A$ , là $\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{\mid A\mid }{\mid \Omega\mid}.$

Theo định nghĩa thì $\displaystyle 0\leq \mathbb{P}(A)\leq 1$ , với mọi sự kiện $\displaystyle A$ . Dấu bằng trong bất đẳng thức thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle A=\emptyset$ , lúc này ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố rỗng hay biến cố không thể. Dấu bằng trong bất đẳng thức thứ hai xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle A=\Omega$ , lúc này ta gọi $\displaystyle A$ là biến cố chắc chắn. Để tính xác suất của biến cố $\displaystyle A$ , ta cần tính số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của $\displaystyle A$ (như một tập hợp).

Ví dụ 4. Tung hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng hai mặt bằng $\displaystyle 10$ .

Lời giải. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ là tập tất cả các cặp $\displaystyle (a,b)$ với $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ thuộc $\displaystyle \{1,2,\ldots,6\}$ . Tập các kết quả thuận lợi cho biến cố tổng hai mặt bằng $\displaystyle 10$ là $\displaystyle \{(5,5),(6,4),(4,6)\}$ , suy ra xác suất cần tính bằng $\displaystyle 3/36=1/12\approx 0.0833$ . $\Box$

Ví dụ 5. Một ván bài $\displaystyle 5$ lá được chia từ một bộ bài $\displaystyle 52$ lá tiêu chuẩn, được xáo trộn kỹ lưỡng. Ván bài được gọi là cù lũ trong poker nếu nó bao gồm ba lá bài ở cấp độ nào đó và hai lá bài ở cấp độ khác, ví dụ: ba lá bài $\displaystyle 7$ và hai lá bài $\displaystyle 10$ (theo bất kỳ thứ tự nào). Xác suất để có một cù lũ bằng bao nhiêu?

Lời giải. Không gian mẫu là họ tất cả các tập con gồm $\displaystyle 5$ lá bài trong bộ bài đã cho. Ta có ngay $\displaystyle \mid \Omega \mid =C_{52}^5$ . Có $\displaystyle 13\times 12$ cách chọn lần lượt hạng của bộ ba và đôi trong một cù lũ. Sau đó, có $\displaystyle C_4^3\times C_4^2$ cách chọn lần lượt một bộ ba và một đôi trong các hạng đã chọn trước đó. Suy ra xác suất cần tính bằng $\displaystyle \frac{13\times 12\times C_4^3\times C_4^2}{C_{52}^5}=\frac{3744}{2598960}\approx 0.0014.$ $\Box$

Ví dụ 6. Mỗi ô vuông đơn vị của một bảng ô vuông cỡ $\displaystyle 3\times 3$ được tô màu xanh hoặc đỏ. Đối với mỗi ô vuông, hai màu đều có khả năng được sử dụng như nhau. Tính xác suất để có được một bảng không có hình vuông màu đỏ cỡ $\displaystyle 2\times 2$ .

Lời giải. Với phép thử trong đề bài, không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ là tập tất cả các cách tô màu bảng $\displaystyle 3\times 3$ . Theo quy tắc nhân, $\displaystyle \mid \Omega \mid =2^9$ . Sử dụng nguyên lý bù-trừ (xem [1]) ta tính được trong các cách tô màu đó, có $\displaystyle 95$ cách tô mà có ít nhất một bảng $\displaystyle 2\times 2$ có các ô vuông được tô đỏ. Suy ra xác suất để xảy ra sự kiện không có hình vuông màu đỏ cỡ $\displaystyle 2\times 2$ bằng $\displaystyle \frac{2^9-95}{2^9}=\frac{417}{512}\approx 0.8145.$ $\Box$

Ví dụ 7. Năm quân xe giống hệt nhau được đặt ngẫu nhiên ở các vị trí đôi một không ăn nhau trên bàn cờ $\displaystyle 8\times 8$ . Hỏi xác suất để các quân xe đều ở hàng $\displaystyle 1,2,3,4,5$ và ở cột $\displaystyle 4,5,6,7,8$ là bao nhiêu?

Lời giải. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ của phép thử gồm tất cả các vị trí năm quân xe trên bàn cờ sao cho chúng đôi một không ăn nhau, ta có

$\displaystyle |\Omega|=\binom{8}{5}^2 \cdot 5!=\frac{8!^2}{3!^2 5!}.$

Giả sử $\displaystyle A$ là biến cố có năm quân xe nằm trong các hàng và cột như trong đề bài. Khi đó $\displaystyle A$ (như một tập hợp) có $\displaystyle 5!$ phần tử, suy ra

$\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{5!^2 3!^2}{8!^2}=\frac{1}{3136}\approx 0.0003.$ $\Box$

Ví dụ 8. Cho số nguyên $\displaystyle n$ lớn hơn $\displaystyle 2$ . Chọn ngẫu nhiên một dãy gồm $\displaystyle n$ số nguyên, mỗi số thuộc tập hợp $\displaystyle [n]$ . Tính xác suất để dãy có đúng $\displaystyle n-1$ số khác nhau.

Lời giải. Dễ thấy không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ là một tập hợp có $\displaystyle n^n$ phần tử. Gọi $\displaystyle A$ là biến có có đúng $\displaystyle n-1$ số khác nhau. Mỗi dãy thuộc $\displaystyle A$ chứa một số nguyên xuất hiện hai lần và các số còn lại trong dãy xuất hiện đúng một lần. Để hình hình một phần tử của $\displaystyle A$ , đầu tiên ta chọn số xuất hiện hai lần, sau đó chọn $\displaystyle n-2$ số còn lại, cuối cùng xếp chúng thành một hàng. Số phần tử của $\displaystyle A$ bằng $\displaystyle n(n-1)C_n^2(n-2)!$ , suy ra

$\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{\mid A\mid }{\mid\Omega\mid}=\frac{n(n-1)C_n^2(n-2)!}{n^n}=\frac{(n-1)!(n-1)}{n^{n-2}2}.$ $\Box$

Ví dụ 9. Alpha chọn ngẫu nhiên năm số nguyên dương phân biệt thuộc tập hợp $\displaystyle \{1,2,\ldots, 14\}$ . Tìm xác suất để Alpha không nhận được hai số phân biệt có cùng số dư khi chia cho $\displaystyle 7$ .

Lời giải. Không gian mẫu $\displaystyle \Omega$ của phép thử là họ tất cả các tập con có $\displaystyle 5$ phần tử của $\displaystyle [14]$ . Ta có ngay $\displaystyle \mid \Omega\mid =C_{14}^5$ . Bây giờ ta đếm số cách chọn năm số nguyên dương phân biệt thuộc tập hợp $\displaystyle \{1,2,\ldots, 14\}$ mà không có hai số nào để lại cùng số dư khi chia cho $\displaystyle 7$ . Đầu tiên, có $\displaystyle C_7^5$ cách chọn $\displaystyle 5$ số dư khác nhau trong $\displaystyle 7$ số dư khi chia cho $\displaystyle 7$ . Sau đó, với mỗi số dư $\displaystyle r$ đã chọn, ta có thể lấy $\displaystyle r$ hoặc $\displaystyle r+7$ (khi $\displaystyle r=0$ thì lấy $\displaystyle 7$ hoặc $\displaystyle 14$ ). Suy ra số cách chọn năm số thỏa mãn là $\displaystyle C_7^5\times 2^{5}$ .

Xác suất cần tìm bằng $\displaystyle \displaystyle \frac{C_7^5\times 2^{5}}{C_{14}^5}=\frac{48}{143}\approx 0.3357.$ $\Box$

Định nghĩa ngây thơ của xác suất rất hạn chế ở chỗ nó yêu cầu $\Omega$ phải hữu hạn, và khả năng xảy ra của các kết quả là như nhau. Nó thường bị áp dụng sai khi cho rằng các kết quả có khả năng xảy ra như nhau mà không có lý do rõ ràng. Nhưng có một số bài toán có thể áp dụng định nghĩa đơn giản này: khi có sự đối xứng trong bài toán khiến cho các kết quả xảy ra như nhau, hay khi các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau theo thiết kế.

Tham khảo

[1] https://nttuan.org/2014/03/20/principle-of-inclusion-exclusion/

Trong vài năm gần đây, xác suất được dùng thường xuyên trong các bài thi chọn học sinh giỏi toán của Mỹ, Nga, và Trung Quốc. Mục tiêu của các bài giảng này là giới thiệu xác suất như một công cụ để giải các bài toán trong các cuộc thi chọn học sinh giỏi.

M	T	W	T	F	S	S
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Naive definition of probability

Published by Nguyen Trung-Tuan

3 thoughts on “Naive definition of probability”

Leave a comment Cancel reply

Share this:

Related

Published by Nguyen Trung-Tuan

3 thoughts on “Naive definition of probability”

Leave a comment Cancel reply