Absolute convergence

Analysis, AP Calculus, Real and complex analysis 4 Minutes

Cho \displaystyle (u_n)_{n\geq 1} là một dãy các số thực. Chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\mid u_n\mid hội tụ. Chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n được gọi là hội tụ có điều kiện nếu nó hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. Trong bài trước (xem [1]) ta đã biết chuỗi điều hòa thay phiên là một chuỗi hội tụ có điều kiện. Theo tiêu chuẩn Cauchy, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều là chuỗi hội tụ.

Khi làm việc với các chuỗi hội tụ, ta thường muốn việc nhóm vài số hạng liên tiếp hay sắp xếp lại các số hạng sẽ không ảnh hưởng đến sự hội tụ hoặc tổng của chuỗi. Không khó khăn lắm để thấy rằng việc nhóm các số hạng liên tiếp tạo ra một chuỗi hội tụ có tổng bằng tổng của chuỗi ban đầu. Ta có kết quả quan trọng sau liên quan đến sắp xếp các số hạng của chuỗi.

Định lý 1. Cho \displaystyle (u_n)_{n\geq 1} là một dãy các số thực sao cho chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n hội tụ tuyệt đối. Khi đó với mọi song ánh \displaystyle\sigma :\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*, chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{\sigma (n)} hội tụ và tổng của nó bằng tổng của chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n.

Chứng minh. Gọi \displaystyle S là tổng của chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n, và \displaystyle\epsilon là một số thực dương bất kỳ. Khi đó tồn tại số nguyên dương \displaystyle m đủ lớn sao cho \displaystyle \mid S_m-S\mid<\epsilon/2 và

\displaystyle\sum_{k=m+1}^{+\infty}\mid u_k\mid <\epsilon/2,

trong đó \displaystyle (S_n)_{n\geq 1} là dãy các tổng riêng của chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n.

Xét một song ánh \displaystyle\sigma :\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*. Gọi \displaystyle (T_n)_{n\geq 1} là dãy các tổng riêng của chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} u_{\sigma (n)}, và \displaystyle N là một số nguyên dương sao cho các số \displaystyle 1, \displaystyle 2, \displaystyle \ldots, \displaystyle m đều thuộc tập hợp \displaystyle\{\sigma (1),\sigma (2),\ldots,\sigma (N)\}. Với số nguyên \displaystyle n>N, ta có

\displaystyle \mid T_n-S\mid\leq \mid T_n-S_m\mid +\mid S_m-S\mid

\displaystyle\leq \sum_{k=m+1}^{+\infty}\mid u_k\mid +\mid S_m-S\mid<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon.

Suy ra \displaystyle T_n\to S và ta có điều phải chứng minh. \Box

Bây giờ giả sử \displaystyle (u_n)_{n\geq 1} là một dãy các số thực sao cho chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n hội tụ có điều kiện. Ta thấy có vô hạn số hạng của dãy là số dương, và có vô hạn số hạng của dãy là số âm. Gọi \displaystyle (d_i)_{i\geq 1} và (a_i)_{i\geq 1} lần lượt là dãy con tất cả các số hạng không âm và dãy con tất cả các số hạng âm của dãy \displaystyle (u_n)_{n\geq 1}. Hai chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}d_n và \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_n đều phân kỳ. Cố định một số thực \displaystyle \alpha. Lấy ra khỏi \displaystyle (d_i) một vài số hạng đầu có tổng lớn hơn \displaystyle\alpha, sau đó lấy ra khỏi \displaystyle (a_i) một vài số hạng đầu để tổng các số được chọn (gồm cả những số được chọn từ \displaystyle (d_i)) nhỏ hơn \displaystyle \alpha. Tiếp theo, trong dãy \displaystyle (d_i) còn lại, lấy vài số hạng đầu để tổng các số được lấy (gồm cả những số được chọn từ các bước trước) lớn hơn \displaystyle\alpha, sau đó trong dãy \displaystyle (a_i) còn lại, lấy một vài số hạng đầu để tổng các số được lấy (gồm cả những số được chọn từ các bước trước) nhỏ hơn \displaystyle \alpha. Cứ tiếp tục như vậy ta có một chuỗi có tổng bằng \displaystyle\alpha. Ta đã mô tả chứng minh của kết quả sau, chi tiết có trong [2].

Định lý 2 (Định lý chuỗi Riemann). Cho \displaystyle (u_n)_{n\geq 1} là một dãy các số thực sao cho chuỗi \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n hội tụ có điều kiện. Khi đó với mỗi số thực \displaystyle\alpha, có song ánh \displaystyle \sigma :\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho chuỗi \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}u_{\sigma (n)} hội tụ và tổng của nó bằng \displaystyle \alpha.

Tài liệu tham khảo

[1] https://nttuan.org/2018/12/30/series/

[2] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw Hill, 1976.

Unknown's avatar

Published by Nguyen Trung-Tuan

A math teacher.

Published

Leave a comment