A proof of Schonemann’s criterion

Các em học sinh nên xem lại hai bài sau:

[1] https://nttuan.org/2009/01/11/poly02/

[2] https://nttuan.org/2018/08/25/poly03/

Định lý (Schonemann, 1846). Cho số nguyên tố $p$ , số nguyên dương $n$ , và một đa thức $f(x)$ với hệ số nguyên có dạng $f(x)=(g(x))^n+ph(x).$ Trong đó $g$ và $h$ là các đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn:

(a) hệ số cao nhất của $g$ bằng $1$ và $g$ bất khả quy trong $\mathbb{F}_p[x]$ .

(b) $\deg (h)<\deg (f)$ và $(g,h)=1$ trong $\mathbb{F}_p[x]$ .

Khi đó $f$ bất khả quy trong $\mathbb{Q}[x]$ .

Chứng minh. Ta thấy hệ số cao nhất của $f$ bằng $1$ và $\deg (f)=n\deg (g).$ Giả sử $f$ khả quy trong $\mathbb{Q}[x]$ , suy ra $f=f_1f_2$ , với $f_1$ và $f_2$ là các đa thức khác hằng với hệ số nguyên cùng có hệ số cao nhất là $1$ . Khi đó trong $\mathbb{F}_p[x]$ ta có $g^n=f_1f_2,$ mà hệ số cao nhất của $g$ bằng $1$ và $g$ bất khả quy trong $\mathbb{F}_p[x]$ , suy ra trong $\mathbb{Z}[x]$ thì $f_1=g^r+pF_1$ và $f_2=g^{n-r}+pF_2,$ ở đây $r$ là số nguyên dương bé hơn $n$ , và $F_1$ , $F_2$ là hai đa thức với hệ số nguyên. Do đó trong $\mathbb{Z}[x]$ ta có đẳng thức