Functional equations on real line I

Algebra, Functional equations 6 Minutes

Trong mục này, qua các ví dụ và bài tập, chúng tôi sẽ giới thiệu các kỹ thuật cơ bản để giải các phương trình hàm trên tập số thực.

Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho 

f(x)f(y)=xy-f(x+y),\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.

Lời giải. Giả sử f là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, khi đó 

f(x)f(y)=xy-f(x+y),\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.\quad (1)    

Trong (1), cho x=y=0 ta có f(0)^2=-f(0), suy ra f(0)=0 hoặc f(0)=-1. Nếu f(0)=0 thì trong (1), chọn y=0 ta có f(x)=0 với mọi số thực x. Kiểm tra ta thấy hàm số này không thỏa mãn. Bây giờ ta xét trường hợp f(0)=-1.

Trong (1), cho x=1 và y=-1 ta có f(1)f(-1)=0, suy ra f(1)=0 hoặc f(-1)=0.

Trường hợp 1: f(1)=0.

Trong (1), chọn y=1, ta có f(x+1)=x với mọi số thực x, suy ra f(x)=x-1,\quad\forall x\in\mathbb{R}.

Trường hợp 2: f(-1)=0.

Trong (1), chọn y=-1, ta có f(x-1)=-x với mọi số thực x, suy ra f(x)=-x-1,\quad\forall x\in\mathbb{R}.

Khi f(x)=x-1 thì với mỗi số thực x và y, ta có

xy-f(x+y)=xy-(x+y-1)=(x-1)(y-1)=f(x)f(y),

suy ra hàm số này thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Khi f(x)=-x-1 thì với mỗi số thực x và y, ta có

xy-f(x+y)=xy+(x+y+1)=(-x-1)(-y-1)=f(x)f(y),

suy ra hàm số f(x)=-x-1 cũng thỏa mãn.

Vậy có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, đó là f(x)=x-1 và f(x)=-x-1. \Box

Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn

f(f(x)+y)=yf(x-f(y)),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.

Lời giải. Giả sử f là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó 

f(f(x)+y)=yf(x-f(y)),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.\quad (1)

Trong (1), chọn y=0, ta có f(f(x))=0 với mọi số thực x. Từ đây, bằng cách thay x bởi f(y) vào (1), ta có f(y)=f(0)y với mọi số thực y. Suy ra f(0)=0 và f(x)=0 với mọi số thực x. Ngược lại, kiểm tra thấy hàm số f(x)=0 thỏa mãn. 

Vậy có đúng một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, đó là f(x)=0 với mọi số thực x. \Box

Ví dụ 3. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn

\displaystyle f(xy)=\frac{f(x)+f(y)}{x+y}  

với mọi số thực x và y sao cho x+y\not=0.

Lời giải. Giả sử f là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó 

\displaystyle f(xy)=\frac{f(x)+f(y)}{x+y}  

với mọi số thực x và y sao cho x+y\not=0. \quad (*)

Từ (*), với x=0 và y=1 ta có f(1)=0. Vẫn từ (*), chọn y=1 ta được

xf(x)=0,\quad\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Nói riêng, f(2)=0. Từ (*), với x=2 và y=0, ta có f(0)=0. Cuối cùng, với y=0, từ (*) ta có f(x)=0 với mọi số thực x\not=0. Suy ra f(x)=0 với mọi số thực x. Ngược lại, kiểm tra thấy hàm số f(x)=0 thỏa mãn.

Vậy có đúng một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, đó là f(x)=0 với mọi số thực x. \Box

Ví dụ 4. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn

xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.

Lời giải. Giả sử f là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó 

xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y),\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.\quad (1)    

Từ (1), với x=y=1 ta có f(1)^2=f(1), suy ra f(1)=0 hoặc f(1)=1. Nếu f(1)=1 thì với y=1, từ (1) ta có f(x)=0 với mọi số thực x. Kiểm tra ta thấy hàm số này thỏa mãn. Bây giờ ta xét trường hợp f(1)=1.

Trong (1), chọn y=1 và để ý f(1)=1, ta có xf(x)=x với mọi số thực x. Suy ra tồn tại số thực a để

f(x)=\begin{cases}1,\quad x\not=0\\ a,\quad x=0.\end{cases}

Kiểm tra cẩn thận ta thấy hàm số này cũng thỏa mãn.

Vậy các hàm số phải tìm là f(x)=0 với mọi số thực x, hoặc

f(x)=\begin{cases}1,\quad x\not=0\\ a,\quad x=0.\end{cases}

Ở đây a là một số thực. \Box        

Ví dụ 5. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn

f(x+y) = \max(f(x),y) + \min(f(y),x)

với mọi số thực x và y.         

Lời giải. Giả sử f là một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Khi đó 

f(x+y) = \max(f(x),y) + \min(f(y),x)

với mọi số thực x và y.\quad (*)

Từ (*), lần lượt thay x=0 và y=0, ta có

f(y) = \max(f(0),y) + \min(f(y),0),\quad\forall y\in\mathbb{R},

và

f(x) = \max(f(x),0) + \min(f(0),x),\quad\forall x\in\mathbb{R}.

Suy ra với mỗi số thực x,

2f(x)=f(x)+f(x)=(f(0)+x)+(f(x)+0),

do đó f(x)=x+f(0),\quad\forall x\in\mathbb{R}. Sử dụng điều này, khi thay x=0 và y=f(0), từ (*) ta có f(0)=\min (2f(0),0). Suy ra f(0)=0, và f(x)=x với mọi số thực x. Ngược lại, kiểm tra thấy hàm số f(x)=x thỏa mãn. 

Vậy có đúng một hàm số thỏa mãn yêu cầu của đề bài, đó là f(x)=x với mọi số thực x. \Box

Unknown's avatar

Published by Nguyen Trung-Tuan

A math teacher.

Published

Leave a comment