Month: December 2008

Least upper bound property


Một tập \displaystyle A \subset\mathbb{R} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại \displaystyle b \in \mathbb{R} sao cho \displaystyle a \leq b với mọi \displaystyle a \in A. Số \displaystyle b được gọi là một cận trên của \displaystyle A. Tương tự, tập \displaystyle A bị chặn dưới nếu tồn tại một cận dưới \displaystyle l \in \mathbb{R} thỏa mãn \displaystyle l \leq a với mọi \displaystyle a \in A. Tập \displaystyle A được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới.

Bài tập 1. Tìm một tập hợp \displaystyle A các số thực sao cho:

(1) \displaystyle A bị chặn trên.

(2) \displaystyle A bị chặn dưới.

(3) \displaystyle A không bị chặn trên và không bị chặn dưới. \Box

Định nghĩa 1. Một số thực \displaystyle s được gọi là cận trên đúng của \displaystyle A \subset \mathbb{R} nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

(1) \displaystyle s là một cận trên của \displaystyle A.

(2) nếu \displaystyle b là một cận trên của \displaystyle A thì \displaystyle s \leq b.

Cận trên đúng cũng thường được gọi là supremum của tập \displaystyle A, ký hiệu \displaystyle \sup A. Cận dưới đúng hay infimum của \displaystyle A được định nghĩa theo cách tương tự và được ký hiệu bởi \displaystyle \inf A. Mặc dù một tập có thể có vô hạn cận trên, nhưng nó chỉ có tối đa một cận trên đúng.  

Ví dụ 1. Cho tập hợp \displaystyle A=\left\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}^*\right\}=\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots\right\}.

Tập A bị chặn trên và dưới. Ta thấy \sup A=1 và \inf A=0. \Box

Một bài học quan trọng rút ra từ ví dụ trên là \displaystyle \sup A và \displaystyle \inf A có thể thuộc hoặc không thuộc tập \displaystyle A. Đây là điểm khác nhau cốt yếu giữa phần tử lớn nhất và cận trên đúng (hoặc phần tử nhỏ nhất và cận dưới đúng) của một tập số thực.

Định nghĩa 2. Một số thực \displaystyle a_{0} được gọi là phần tử lớn nhất của tập \displaystyle A, ký hiệu \displaystyle \max A, nếu \displaystyle a_{0} là một phần tử của \displaystyle A và \displaystyle a_{0} \geq a với mọi \displaystyle a \in A. Tương tự, số \displaystyle a_{1} là phần tử nhỏ nhất của \displaystyle A, ký hiệu \displaystyle \min A, nếu \displaystyle a_{1} \in A và \displaystyle a_{1} \leq a với mọi \displaystyle a \in A.

Ví dụ 2. Hai tập \displaystyle [0;2] và \displaystyle (0;2) bị chặn, có cùng cận trên đúng \displaystyle 2, nhưng chỉ \displaystyle [0;2] có phần tử lớn nhất. Như vậy, cận trên đúng có thể tồn tại và không phải là phần tử lớn nhất, nhưng khi phần tử lớn nhất tồn tại, nó cũng là cận trên đúng. \Box

Mặc dù ta có thể thấy rằng không phải mọi tập hợp khác rỗng bị chặn trên nào đều có phần tử lớn nhất, nhưng tiên đề về tính đầy đủ khẳng định rằng mọi tập hợp như vậy đều có một cận trên đúng. Ta sẽ không chứng minh điều này. Tiên đề trong toán học là một giả định được chấp nhận, được sử dụng mà không cần chứng minh.

Tiên đề về tính đầy đủ. Mọi tập các số thực khác rỗng và bị chặn trên đều có cận trên đúng.

Từ tiên đề trên ta có thể chứng minh mọi tập số thực khác rỗng và bị chặn dưới đều có cận dưới đúng. Tiên đề không đúng với tập các số hữu tỷ.

Ví dụ 3. Tập \{r\in\mathbb{Q}\mid r^2<2\} bị chặn trên và khác rỗng nhưng không có cận trên đúng thuộc \mathbb{Q}. \Box

Hai định lý sau cho một định nghĩa tương đương của cận trên đúng và cận dưới đúng.

Continue reading “Least upper bound property” →