An inequality with n variables

Bài toán. Cho số nguyên $n>2$ và $n$ số thực $a_1,a_2,\ldots,a_n$ có tổng bằng không. Chứng minh rằng

$\displaystyle \sum_{i=1}^na_i^2\leq \frac{n^2}{16}\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1})^2.\quad (*)$

Lời giải. Vì $\displaystyle \sum a_i=0$ nên

$\displaystyle n\sum a_i^2=n\sum a_i^2-(\sum a_i)^2=\sum_{i<j}(a_i-a_j)^2.$

Với mỗi $\displaystyle i$ , đặt $\displaystyle d_i=a_i-a_{i+1}$ . Ta có

$\displaystyle 2n\sum_{i=1}^na_i^2 = \sum_{i\not=j}(a_i-a_j)^2$ $\displaystyle =\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+k})^2= \sum_{k=1}^{n-1}\sum_{i=1}^n\left(d_i+d_{i+1}+\cdots+d_{i+k-1}\right)^2.$

Từ đây, để ý $\displaystyle \sum_{i=1}^n d_i=0$ và dùng bất đẳng thức Cauchy ta có

$\displaystyle 2n\sum_{i=1}^n a_i^2\leq \sum_{i=1}^n(1^2+2^2+\cdots+2^2+1^2)d_i^2.$

Trong đó $\displaystyle T_n=1^2+2^2+\cdots+2^2+1^2$ là tổng của $\displaystyle n-1$ số. Đến đây, chia hai trường hợp $\displaystyle n$ chẵn và $\displaystyle n$ lẻ ta dễ tính được $\displaystyle T_n$ và từ đó có $\displaystyle (*)$ . $\Box$