Farey sequence and approximation of irrational numbers II

Algebra, Analysis, Diophantine approximation, Number theory, ProofWiki 4 Minutes

Đây là phần II, các bạn xem lại phần I ở đây https://nttuan.org/2008/04/02/farey-sequence-and-approximation-of-irrational-numbers-i/

Bây giờ chúng tôi sẽ sử dụng các dãy Farey để chứng minh lại một số kết quả về xấp xỉ số vô tỷ bởi số hữu tỷ (xem thêm [1]).

Định lý 4 (Dirichlet, 1842). Cho số vô tỷ \displaystyle \alpha. Khi đó có vô hạn phân số tối giản \displaystyle \frac{a}{q} sao cho

\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{q}\right|<\frac{1}{q^2}. Hơn nữa ta có thể chọn \displaystyle q lớn tùy ý.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử \displaystyle 0<\alpha<1. Ta có thể chọn \displaystyle a=0,q=1 để được một phân số tối giản thỏa mãn. Giả sử ta đã xây dựng được một vài phân số, ta sẽ chỉ ra một phân số khác cũng thỏa mãn bất đẳng thức trong định lý nhưng khác tất cả các phân số này. Chọn số nguyên dương \displaystyle n đủ lớn sao cho \displaystyle \frac{1}{n} nhỏ hơn tất cả các khoảng cách từ \displaystyle \alpha đến các phân số đã được tìm. Số \displaystyle \alpha sẽ nằm giữa hai phần số liên tiếp \displaystyle a/b<c/d của \displaystyle F_n, giả sử \displaystyle b\geq d. Vì \displaystyle \frac{c}{d}-\dfrac{a}{b}=\frac{1}{bd}\leq\frac{1}{b+d-1}\leq\frac{1}{n} nên cả \displaystyle a/b và \displaystyle c/d đều khác tất cả các phân số trước, mà \displaystyle |\alpha-c/d|<\frac{1}{bd}<\frac{1}{d^2}, suy ra ta có thể chọn $c/d$ là phân số tiếp theo. \Box

Định lý 5 (Hurwitz, 1891). Cho số vô tỷ \displaystyle \alpha. Khi đó có vô hạn phân số tối giản \displaystyle \frac{a}{q} sao cho

\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{q}\right|<\frac{1}{\sqrt{5}q^2}. Hơn nữa ta có thể chọn \displaystyle q lớn tùy ý. Với số thực \displaystyle A>\sqrt{5}, chỉ có hữu hạn phân số tối giản \displaystyle \dfrac{a}{q} sao cho

\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{q}\right|<\frac{1}{Aq^2}, ở đây \displaystyle \alpha=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử \displaystyle 0<\alpha<1. Xét một số nguyên dương \displaystyle n bất kỳ. Số \displaystyle \alpha sẽ nằm giữa hai phần số liên tiếp \displaystyle a/b<c/d của \displaystyle F_n. Ta chỉ cần chứng minh một trong ba phân số \displaystyle \frac{a}{b}, \displaystyle \frac{c}{d}, và \displaystyle \frac{a+c}{b+d} thỏa mãn bất đẳng thức trong định lý, phần sau sẽ làm như trong chứng minh định lý 4. Giả sử \displaystyle \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\alpha<\frac{c}{d} và cả ba phân số đều không thỏa mãn bất đẳng thức trong định lý, nghĩa là

\displaystyle \alpha-\frac{a}{b}\geq \frac{1}{\sqrt{5}b^2},\quad\alpha-\frac{a+c}{b+d}\geq\frac{1}{\sqrt{5}(b+d)^2},\quad \frac{c}{d}-\alpha\geq\frac{1}{\sqrt{5}d^2}. Cộng theo vế bất đẳng thức thứ nhất với thứ ba, thứ hai với thứ ba ta được \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{bd}\geq\frac{1}{b^2}+\frac{1}{d^2},\quad \frac{\sqrt{5}}{d(b+d)}\geq \frac{1}{(b+d)^2}+\frac{1}{d^2}. Đặt \displaystyle b/d=t, từ trên ta có một hệ bất phương trình bậc hai ẩn \displaystyle t, giải hệ này ta có \displaystyle t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\not\in\mathbb{Q}, vô lí.

Với phần thứ hai, giả sử bất đẳng thức đúng với vô hạn phân số \displaystyle a/q. Vì mỗi \displaystyle q chỉ có nhiều nhất hai giá trị \displaystyle a làm cho bất đẳng thức đó đúng nên \displaystyle q chạy trên một tập vô hạn. Viết lại bất đẳng thức trong định lý dưới dạng

\displaystyle \frac{q\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{Aq}<\frac{q}{2}+a<\frac{q\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{Aq}, bình phương ta có \displaystyle \frac{1}{A^2q^2}-\frac{\sqrt{5}}{A}<a^2+aq-q^2<\frac{1}{A^2q^2}+\frac{\sqrt{5}}{A}. Vì \displaystyle A>\sqrt{5} nên ta có thể chọn \displaystyle q đủ lớn để

\displaystyle -1<\frac{1}{A^2q^2}-\frac{\sqrt{5}}{A}<a^2+aq-q^2<\frac{1}{A^2q^2}+\frac{\sqrt{5}}{A}<1, với q này thì a^2+aq-q^2=0, vô lý. \Box

Đọc thêm

[1] https://nttuan.org/2007/12/15/pell-equation/

Unknown's avatar

Published by Nguyen Trung-Tuan

A math teacher.

Published

One thought on “Farey sequence and approximation of irrational numbers II”

  1. Pingback: Stern–Brocot tree – T's Lab

Leave a comment