A proof of Euler’s formula

Nguyen Trung-Tuan Analysis, ProofWiki, Real and complex analysis March 21, 2008May 22, 2024 1 Minute

Công thức Euler. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .

Các em học sinh hãy chứng minh công thức Euler bằng cách giải ba bài tập sau.

Bài 1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ và số thực $x\in\mathbb{R}\setminus \pi\mathbb{Z}$ , ta có

$\displaystyle \frac{\sin (nx)}{(\sin x)^n}=\sum_{0\leq m\leq n/2}(-1)^mC_n^{2m+1}(\cot x)^{n-2m-1}.$

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $m$ , ta có $\displaystyle \sum_{r=1}^m\frac{1}{\sin^2\frac{r\pi}{2m+1}}=\frac{2m(m+1)}{3}.$

Bài 3. Chứng minh công thức Euler.

—

Phương pháp trên là của Cauchy.

Published by Nguyen Trung-Tuan

Published March 21, 2008May 22, 2024