Convex function

Algebra, Discrete geometry, Geometry, Inequalities, Real and complex analysis 4 Minutes

Để tiện theo dõi, các bạn đọc lại bài sau

Convex set

Cho C là một đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng không nhất thiết bị chặn.

Một hàm số f:C\to\mathbb{R} được gọi là lồi trên C nếu f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y) với mọi x,y\in C và mọi \lambda\in [0;1].

Như vậy f là lồi nếu mọi đoạn có các đầu mút thuộc đồ thị đều không nằm dưới đồ thị.

Một hàm số f:C\to\mathbb{R} được gọi là lồi nghiêm ngặt trên C nếu f((1-\lambda)x+\lambda y)< (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y) với mọi x,y\in C và mọi \lambda\in [0;1] thỏa mãn x\not=y và 0<\lambda<1.

Hàm lồi và hàm lồi nghiêm ngặt.

Hàm số f được gọi là lõm (lõm nghiêm ngặt) nếu hàm -f lồi (lồi nghiêm ngặt).

Hàm lồi nghiêm ngặt là hàm lồi, ngược lại nói chung không đúng. Các hàm số y=ax+b,y=\mid x\mid và y=x^2 đều lồi trên \mathbb{R}. Hàm cuối cùng là hàm lồi nghiêm ngặt trên \mathbb{R}.

Định lí 1. Cho hàm số f:[a;b]\to\mathbb{R} liên tục trên [a;b] và lồi trên (a;b). Khi đó f lồi trên [a;b].

Định lí 2. Hàm số f:C\to\mathbb{R} lồi trên C nếu và chỉ nếu tập hợp \text{epi}\, f=\{(x;y)\in C\times \mathbb{R}\mid f(x)\leq y\} là tập hợp lồi. Tập hợp này được gọi là bia của f.

Nếu một hàm số lồi trên một khoảng thì nó liên tục trên khoảng đó. Để chứng minh kết quả này ta cần bổ đề sau.

Bổ đề. Cho hàm số f:C\to\mathbb{R} lồi trên C. Khi đó \displaystyle\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\leq \frac{f(z)-f(y)}{z-y} với mọi x,y,z\in C thỏa mãn x<y<z.

Định lí 3. Nếu f:(a;b)\to\mathbb{R} lồi trên (a;b) thì f liên tục trên (a;b).

Nếu thay miền xác định của f bởi đoạn thì khẳng định không còn đúng. Chẳng hạn hàm số f:[0;1]\to\mathbb{R} xác định bởi f(x)=\begin{cases}1,\quad x=0\\ 0,\quad 0<x\leq 1\end{cases} là hàm số lồi trên [0;1] nhưng không liên tục trên [0;1].

Sau đây là tiêu chuẩn lồi với các hàm có đạo hàm cấp hai.

Định lí 4. Cho hàm số f:(a;b)\to\mathbb{R} có đạo hàm cấp hai trên (a;b). Khi đó f lồi trên (a;b) khi và chỉ khi f^{\prime\prime}(x)\geq 0 với mọi x\in (a;b).

Chứng minh. Giả sử f lồi trên (a;b). Xét hai số thực x<z trong (a;b). Theo bổ đề trên ta có \displaystyle\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\leq \frac{f(z)-f(y)}{z-y} với mọi y thỏa mãn x<y<z. Lần lượt cho y\to x^{+} và z^{-} ta có f^{\prime} (x)\leq f^{\prime}(z). Suy ra f^{\prime} không giảm trên (a;b), do đó f^{\prime\prime}(x)\geq 0 với mọi x\in (a;b).

Bây giờ giả sử f^{\prime\prime}(x)\geq 0 với mọi x\in (a;b). Khi đó f^{\prime} không giảm trên (a;b). Xét hai số thực x<y trong (a;b) và \lambda\in (0;1). Áp dụng định lí Lagrange cho f trên hai đoạn [x;z] và [z;y], với z=\lambda x+(1-\lambda)y, ta có điều cần chứng minh. \Box

Định lí 5. Cho hàm số f:(a;b)\to\mathbb{R} có đạo hàm cấp hai trên (a;b). Khi đó nếu f^{\prime\prime}(x)> 0 với mọi x\in (a;b) thì f lồi nghiệm ngặt trên (a;b).

Ngược lại không đúng! Hàm số y=x^4 lồi nghiệm ngặt trên \mathbb{R} nhưng đạo hàm cấp hai không dương trên \mathbb{R}.

Về cực trị của hàm lồi ta có kết quả quan trọng sau.

Định lí 6. Cho f:[a;b]\to\mathbb{R} là một hàm số lồi trên [a;b]. Khi đó f đạt được giá trị lớn nhất trên [a;b] và giá trị lớn nhất đó bằng f(a) hoặc f(b).

Unknown's avatar

Published by Nguyen Trung-Tuan

A math teacher.

Published

Leave a comment