Pell’s equation

Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một số định lí của Dirichlet về xấp xỉ số thực bởi số hữu tỉ, và áp dụng các định lí đó vào lý thuyết phương trình Pell.

Định lí 1 (Dirichlet). Cho số thực và số nguyên dương . Khi đó có số nguyên dương và số nguyên thỏa mãn và

Chứng minh. Phân hoạch nửa đoạn thành nửa đoạn

Xét số .

Nếu chứa ít nhất một số trong dãy trên, chẳng hạn , ta chọn . Nếu chứa ít nhất một số trong dãy trên, chẳng hạn , ta chỉ cần chọn . Nếu hai khoảng trên không chứa số nào thì tồn tại một khoảng chứa ít nhất hai số trong dãy, ta chọn .

Như vậy mọi số thực có thể được xấp xỉ bởi một số hữu tỉ có mẫu bị chặn với độ chính xác phụ thuộc vào chặn trên của mẫu. Sau đây là một áp dụng đẹp đẽ của định lí trên:

Hệ quả. Mọi số nguyên tố dạng có thể viết thành tổng của hai số chính phương.

Chứng minh. Theo định lí Wilson, tồn tại số nguyên dương sao cho Theo định lí Dirichlet, tồn tại các số nguyên sao cho và

Từ ta có , suy ra , mà suy ra

Định lí 2 (Dirichlet). Cho số vô tỷ . Khi đó có vô hạn số hữu tỷ sao cho và Hơn nữa ta có thể chọn lớn tùy ý.

Chứng minh. Ta sẽ xây dựng dãy hữu tỷ thỏa mãn bằng quy nạp.

Với số nguyên bất kỳ, theo định lí 1, tồn tại phân số sao cho và

Bằng cách thu gọn nếu cần, ta có thể xem phân số này tối giản. Do nên từ bất đẳng thức trên ta có

Giả sử ta đã xây dựng được dãy các phân số tối giản đôi một khác nhau thỏa mãn bất đẳng thức trong định lí. Vì là số vô tỷ nên , bởi thế nên ta có thể chọn được số nguyên dương để Dùng định lí 1 cho  số này ta tìm được phân số tối giản sao cho và

Phân số này khác tất cả các phân số trước vì

Để kết thúc chỉ cần để ý rằng với mỗi chỉ có nhiều nhất hai giá trị làm cho bất đẳng thức trong định lí đúng.

Phương trình Pell, còn được gọi là phương trình Pell–Fermat, là phương trình Diophantine có dạng trong đó là một số nguyên dương không chính phương. Joseph Louis Lagrange đã chứng minh rằng phương trình Pell có vô số nghiệm nguyên. Nghiệm nguyên dương của phương trình có thể được sử dụng để tính gần đúng bằng cách lấy

Phương trình này lần đầu tiên được nghiên cứu rộng rãi ở Ấn Độ, bắt đầu với Brahmagupta, người đã tìm ra nghiệm nguyên của phương trình vào khoảng năm Lời giải của các phương trình Pell đặc biệt, chẳng hạn như các số Pell phát sinh từ phương trình với đã được biết đến từ rất lâu, kể từ thời của Pythagoras ở Hy Lạp. William Brouncker là người châu Âu đầu tiên giải được phương trình Pell. Tên của phương trình Pell bắt nguồn từ việc Leonhard Euler nhầm lẫn quy kết nghiệm của phương trình Brouncker cho John Pell, người không nghiên cứu gì phương trình Pell!

Trong bài này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả cơ bản về phương trình Pell. Cho là một số nguyên dương không phải là số chính phương. Xét phương trình Pell

Định lí 3. Phương trình có nghiệm nguyên dương.

Chứng minh. Vì không phải số chính phương nên là số vô tỷ, do đó theo định lí Drichlet, tồn tại vô hạn phân số tối giản sao cho Hơn nữa ta có thể chọn lớn tùy ý. Với các phân số đó ta có suy ra tồn tại số nguyên để có vô hạn phân số tối giản sao cho

Trong các phân số như vậy, ta chọn hai phân số khác nhau và sao cho Xét các số hữu tỷ và xác định bởi

Theo cách chọn và ta có là các số nguyên với . Ta thấy là một nghiệm nguyên dương của vì

Định lí 4. Nếu là hai nghiệm nguyên dương của phương trình thì

Chứng minh. Do và là các số nguyên dương thỏa mãn

nên . Từ đây ta có điều cần chứng minh.

Định lí 5. Nếu là nghiệm nguyên dương của với nhỏ nhất thì tập nghiệm nguyên dương của là ở đây là hai dãy các số nguyên dương xác định bởi

Chứng minh. Dễ thấy là nghiệm nguyên dương của phương trình với mọi . Bây giờ giả sử là một nghiệm nguyên dương nào đó của phương trình. Ta sẽ chứng minh tồn tại số nguyên dương để , hay Nếu điều này không xảy ra thì tồn tại số nguyên dương thỏa mãn

từ đây ta có Gọi và là các số nguyên xác định bởi

.

Từ định lí 4 ta thấy là một nghiệm nguyên dương của phương trình và , vô lý.

Nghiệm nguyên dương của phương trình với nhỏ nhất được gọi là nghiệm nhỏ nhất hoặc nghiệm cơ bản của phương trình. Như vậy để giải phương trình Pell ta chỉ cần tìm nghiệm cơ bản.