December 2007 – T's Lab

Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một số định lí của Dirichlet về xấp xỉ số thực bởi số hữu tỉ, và áp dụng các định lí đó vào lý thuyết phương trình Pell.

Định lí 1 (Dirichlet). Cho số thực $\theta$ và số nguyên dương $Q$ . Khi đó có số nguyên dương $q$ và số nguyên $a$ thỏa mãn $q\leq Q$ và $\displaystyle \left|\theta-\frac{a}{q}\right|\leq\dfrac{1}{q(Q+1)}.$

Chứng minh. Phân hoạch nửa đoạn $[0;1)$ thành $Q+1$ nửa đoạn

$\displaystyle I_k=\left[\frac{k}{Q+1};\frac{k+1}{Q+1}\right),\quad k=0,1,\ldots,Q.$

Xét $Q$ số $\{1.\theta\},\{2.\theta\},\ldots,\{Q.\theta\}$ .

Nếu $I_0$ chứa ít nhất một số trong dãy trên, chẳng hạn $\{m.\theta\}$ , ta chọn $q=m$ . Nếu $I_{Q}$ chứa ít nhất một số trong dãy trên, chẳng hạn $\{n.\theta\}$ , ta chỉ cần chọn $q=n$ . Nếu hai khoảng trên không chứa số nào thì tồn tại một khoảng $I_i$ chứa ít nhất hai số $\{j.\theta\},$ $\{k.\theta\}$ $(j<k)$ trong dãy, ta chọn $q=k-j$ . $\Box$

Như vậy mọi số thực có thể được xấp xỉ bởi một số hữu tỉ có mẫu bị chặn với độ chính xác phụ thuộc vào chặn trên của mẫu. Sau đây là một áp dụng đẹp đẽ của định lí trên:

Hệ quả. Mọi số nguyên tố dạng $4k+1$ có thể viết thành tổng của hai số chính phương.

Chứng minh. Theo định lí Wilson, tồn tại số nguyên dương $c$ sao cho $c^2+1\equiv 0\pmod{p}.$ Theo định lí Dirichlet, tồn tại các số nguyên $a,b$ sao cho $1\leq b\leq [\sqrt{p}]$ và

$\displaystyle \left|\frac{c}{p}-\frac{a}{b}\right|\leq\frac{1}{b([\sqrt{p}]+1)}<\frac{1}{b\sqrt{p}}. \quad (*)$

Từ $(*)$ ta có $|cb-ap|<\sqrt{p}$ , suy ra $0<(cb-ap)^2+b^2<2p$ , mà $(cb-ap)^2+b^2\equiv b^2(c^2+1)\equiv 0\pmod{p},$ suy ra $(cb-ap)^2+b^2=p.$ $\Box$

Định lí 2 (Dirichlet). Cho số vô tỷ $\alpha$ . Khi đó có vô hạn số hữu tỷ $\displaystyle\frac{a}{q}$ sao cho $q>0$ và $\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{q}\right|<\frac{1}{q^2}.$ Hơn nữa ta có thể chọn $q$ lớn tùy ý.

Chứng minh. Ta sẽ xây dựng dãy hữu tỷ thỏa mãn bằng quy nạp.

Với số nguyên $Q\geq 1$ bất kỳ, theo định lí 1, tồn tại phân số $\displaystyle\frac{a}{q}$ sao cho $1\leq q\leq Q$ và

$\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{q}\right|\leq\frac{1}{q(Q+1)}.$

Bằng cách thu gọn $\displaystyle\frac{a}{q}$ nếu cần, ta có thể xem phân số này tối giản. Do $Q+1>q$ nên từ bất đẳng thức trên ta có

$\displaystyle \left|\alpha-\frac{a}{q}\right|\leq\frac{1}{q(Q+1)}<\frac{1}{q^2}.$

Giả sử ta đã xây dựng được dãy các phân số tối giản đôi một khác nhau $\displaystyle\frac{a_1}{q_1},\frac{a_2}{q_2},\ldots,\frac{a_m}{q_m}$ thỏa mãn bất đẳng thức trong định lí. Vì $\alpha$ là số vô tỷ nên $|\alpha-a_i/q_i|>0\,\forall i$ , bởi thế nên ta có thể chọn được số nguyên dương $Q$ để $Q>\max \{|\alpha-a_i/q_i|^{-1}\}.$ Dùng định lí 1 cho số $Q$ này ta tìm được phân số tối giản $\displaystyle\frac{a_{m+1}}{q_{m+1}}$ sao cho $1\leq q_{m+1}\leq Q$ và