October 26, 2007

Trong bài này $K$ là một trong các tập hợp $\mathbb{F}_p$ (tập các số nguyên modulo một số nguyên tố $p$ ), $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R},$ hoặc $\mathbb{C}$ .

Định nghĩa 1. Cho $n$ là một số tự nhiên và $a_0,a_1,...,a_n \in K$ . Mỗi tổng hình thức có dạng

$a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$

được gọi là một đa thức trên $K$ theo biến $x$ với hệ số $a_0,a_1,...,a_n$ . Nếu $k$ là chỉ số lớn nhất sao cho $a_k \neq 0$ , thì ta nói đa thức $f(x)=a_k x^k+\ldots+a_1x+a_0$ có bậc $k$ , viết $\text{deg}(f(x))=k$ , $a_k$ được gọi là hệ số đầu của đa thức $f(x)$ , và $a_0$ được gọi là hệ số tự do của $f(x)$ . Nếu $a_0$ là hệ số đầu của $f(x)$ , thì $f(x)$ được gọi là đa thức hằng.

Nếu hệ số đầu của $f(x)$ là $1$ , thì $f(x)$ được gọi là đa thức monic. Tập tất cả đa thức với hệ số trong $K$ được ký hiệu bởi $K[x]$ .

Theo định nghĩa này thì đa thức không, đa thức mà mọi hệ số là không, không có bậc. Để thuận tiện, ta qui ước nó là đa thức hằng và có bậc bằng $-\infty$ . Một đa thức hằng $f(x)=a_0$ có bậc $0$ nếu $a_0 \neq 0$ . Hai đa thức bằng nhau nếu chúng có cùng bậc và tất cả các hệ số tương ứng bằng nhau. Cần phân biệt giữa đa thức $f(x)$ và hàm đa thức tương ứng từ $K$ đến $K$ xác định bởi thay một phần tử của $K$ vào vị trí của $x$ . Nếu $f(x)=a_m x^m+\ldots+a_1x+a_0$ và $c \in K$ , thì $f(c)=a_m c^m+\ldots+a_1c+a_0$ được gọi là giá trị của $f(x)$ tại $c$ . Nếu $K$ là $\mathbb{F}_p$ thì có thể có hai đa thức khác nhau xác định cùng một hàm đa thức.

Ví dụ 1. Cho $K$ là $\mathbb{F}_3$ và xét các đa thức $x^3$ và $x$ . Với mỗi $c \in \mathbb{F}_3$ , ta có $c^3 \equiv c\pmod{3},$ do đó các hàm đa thức $f(x)=x^3$ và $g(x)=x$ là bằng nhau như các hàm từ $\mathbb{F}_3$ tới $\mathbb{F}_3$ .