Month: October 2007

Polynomials in one variable: Basic definitions


Trong bài này K là một trong các tập hợp \mathbb{F}_p (tập các số nguyên modulo một số nguyên tố p), \mathbb{Q}, \mathbb{R}, hoặc \mathbb{C}.

Định nghĩa 1. Cho n là một số tự nhiên và a_0,a_1,...,a_n \in K. Mỗi tổng hình thức có dạng

a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0

được gọi là một đa thức trên K theo biến x với hệ số a_0,a_1,...,a_n. Nếu k là chỉ số lớn nhất sao cho a_k \neq 0, thì ta nói đa thức f(x)=a_k x^k+\ldots+a_1x+a_0 có bậc k, viết \text{deg}(f(x))=k, a_k được gọi là hệ số đầu của đa thức f(x), và a_0 được gọi là hệ số tự do của f(x). Nếu a_0 là hệ số đầu của f(x), thì f(x) được gọi là đa thức hằng.

Nếu hệ số đầu của f(x) là 1, thì f(x) được gọi là đa thức monic. Tập tất cả đa thức với hệ số trong K được ký hiệu bởi K[x].

Theo định nghĩa này thì đa thức không, đa thức mà mọi hệ số là không, không có bậc. Để thuận tiện, ta qui ước nó là đa thức hằng và có bậc bằng -\infty. Một đa thức hằng f(x)=a_0 có bậc 0 nếu a_0 \neq 0. Hai đa thức bằng nhau nếu chúng có cùng bậc và tất cả các hệ số tương ứng bằng nhau. Cần phân biệt giữa đa thức f(x) và hàm đa thức tương ứng từ K đến K xác định bởi thay một phần tử của K vào vị trí của x. Nếu f(x)=a_m x^m+\ldots+a_1x+a_0 và c \in K, thì f(c)=a_m c^m+\ldots+a_1c+a_0 được gọi là giá trị của f(x) tại c. Nếu K là \mathbb{F}_p thì có thể có hai đa thức khác nhau xác định cùng một hàm đa thức.

Ví dụ 1. Cho K là \mathbb{F}_3 và xét các đa thức x^3 và x. Với mỗi c \in \mathbb{F}_3, ta có c^3 \equiv c\pmod{3}, do đó các hàm đa thức f(x)=x^3 và g(x)=x là bằng nhau như các hàm từ \mathbb{F}_3 tới \mathbb{F}_3.

Continue reading “Polynomials in one variable: Basic definitions” →

Siegel’s lemma


Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của bổ đề Siegel, một bổ đề có nhiều áp dụng trong số học (xem trong [1], trang 316).

Bổ đề Siegel. Cho hai số nguyên dương N>M và một bảng các số nguyên không đồng thời bằng không (a_{i,j}) có cỡ M\times N. Khi đó hệ phương trình

\displaystyle \sum_{j=1}^Na_{i,j}x_j=0,\quad i=1,2,\ldots,M

có nghiệm nguyên (y_1,y_2,\ldots,y_N) thỏa mãn \max \mid y_i\mid \leq \left(N\max \mid a_{i,j}\mid \right)^{\frac{M}{N-M}} và các số y_1,y_2,\ldots,y_N không đồng thời bằng không.

Hệ phương trình thuần nhất trên có số ẩn nhiều hơn số phương trình và có hệ số hữu tỷ nên nó có nghiệm hữu tỷ khác không, do đó nó có nghiệm nguyên khác không (xem trong [2], trang 49). Bổ đề nói rằng ta có thể tìm nghiệm nguyên không tầm thường đủ nhỏ của hệ.

Chứng minh. Đặt a=\max \mid a_{i,j}\mid, \displaystyle L_i(x_1,x_2,\ldots,x_N)=\sum_{j=1}^Na_{i,j}x_j,
\displaystyle a_i^{+}=\sum_{j=1}^N\max\{a_{i,j};0\}, và \displaystyle a_i^{-}=\sum_{j=1}^N\min \{a_{i,j};0\}, với i=1,2,\ldots,M.

Xét một số tự nhiên b. Gọi S là tập các bộ số tự nhiên (x_1,x_2,\ldots,x_{N}) thỏa mãn x_i\leq b với mọi i. Khi đó \mid S\mid =(b+1)^N và với mỗi (x_i)\in S, bộ

(L_1(x_1,x_2,\ldots,x_N),L_2(x_1,x_2,\ldots,x_N),\ldots,L_M(x_1,x_2,\ldots,x_N))

thuộc tập hợp tích \displaystyle T=\prod_{i=1}^M\{a_i^{-}b,a_i^{-}b+1,\ldots,a_i^{+}b\}. Ta có

\displaystyle \mid T\mid = \prod_{i=1}^M\mid \{a_i^{-}b,a_i^{-}b+1,\ldots,a_i^{+}b\}\mid = \prod_{i=1}^M(b(a_i^+-a_i^-)+1)\leq (bNa+1)^M.

Giả sử chọn được b thỏa mãn bất đẳng thức

\displaystyle (bNa+1)^M<(b+1)^N.\quad (*)

Khi đó tồn tại hai phần tử khác nhau (x_i) và (x_i^{\prime}) của S để hai phần tử tương ứng trong T là một. Ta thấy (y_i), với y_i=x_i-x_i^{\prime}, là một nghiệm nguyên khác không của hệ phương trình thỏa mãn \mid y_i\mid\leq b với mọi i. Bây giờ kiểm tra thấy khi b= \left[\left(Na\right)^{\frac{M}{N-M}}\right] thì có (*), từ đó có nghiệm (y_i) thỏa mãn bổ đề.

Tài liệu tham khảo

[1] Hindry, M., Silverman, J.H.: Diophantine Geometry. Springer, New York (2000)
[2] Jacobson, N.: Lectures in Abstract Algebra: II. Linear Algebra. Springer, New
York (1975)