Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu một số lời giải của bài toán G7 trong cuốn IMO 2022: Shortlisted Problems.
IMO2022SL/G7. Hai tam giác có cùng trực tâm và cùng đường tròn ngoại tiếp có tâm . Gọi là tam giác tạo bởi , và , chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác nằm trên .
Định lí Erdos–Ginzburg–Ziv.Cho số nguyên dương Khi đó trong mỗi số nguyên, tồn tại số có tổng chia hết cho
Chứng minh. Trước tiên ta thấy khẳng định đúng với và nếu khẳng định đúng với và thì nó cũng đúng với Thật vậy, giả sử là các số nguyên bất kỳ. Trước tiên, vì nên trong các số đã cho ta có thể chọn số sao cho sau bước này ta còn số. Trong số đó ta chọn số sao cho
sau bước này ta còn số. Tiếp tục làm như vậy cuối cùng ta được số thỏa mãn
Vì khẳng định đúng với nên trong số nguyên tồn tại số, chẳng hạn với , có tổng chia hết cho Khi đó số với có tổng chia hết cho suy ra khẳng định đúng với
Vậy ta chỉ cần chứng minh nó đúng với các số nguyên tố. Giả sử là một số nguyên tố và là các số nguyên bất kỳ. Ta cần chỉ ra có số trong các số đã cho có tổng chia hết cho Với mỗi số nguyên ký hiệu là số dư khi chia cho Không mất tính tổng quát, giả sử là một dãy không giảm. Nếu tồn tại sao cho thì
Trong bài này tôi sẽ dịch phần Tổ hợp trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/.
Phần Hình của năm 2022 tôi đã dịch ở đây
C1. Một -dãy là một dãy gồm số mỗi số bằng hoặc . Tìm số lớn nhất sao cho, đối với bất kỳ dãy nào, tồn tại một số nguyên và các chỉ số để với mọi , và
C2. Ngân hàng Oslo phát hành hai loại tiền xu: nhôm (ký hiệu là ) và đồng (ký hiệu là ). Alpha có đồng xu nhôm và đồng xu đồng được sắp xếp thành một hàng theo thứ tự ban đầu tùy ý. Một chuỗi là bất kỳ dãy con nào các đồng xu liên tiếp có cùng loại. Cho một số nguyên dương cố định , Beta lặp đi lặp lại thao tác sau: anh ta xác định chuỗi dài nhất chứa đồng xu thứ từ bên trái và di chuyển tất cả đồng xu trong chuỗi đó sang đầu bên trái của hàng. Ví dụ: nếu và , quá trình bắt đầu từ sẽ là
Tìm tất cả các cặp với sao cho với mỗi cách xếp các đồng xu lúc đầu, tại một thời điểm nào đó trong quá trình, đồng xu ngoài cùng bên trái có cùng loại.
C3. Trong mỗi ô vuông của một khu vườn có dạng bảng ô vuông cỡ , ban đầu có một cái cây cao . Một người làm vườn và một thợ đốn gỗ thay phiên nhau chơi trò chơi sau, người làm vườn sẽ chơi ở lượt đầu tiên:
(1) Người làm vườn chọn một ô vuông trong vườn. Sau đó mỗi cây trên ô vuông đó và tất cả các ô vuông xung quanh trở thành cao hơn một đơn vị.
(2) Người thợ đốn gõ chọn bốn ô vuông khác nhau trong vườn. Sau đó mỗi cây có chiều cao dương trên các ô vuông đó sẽ trở thành thấp hơn một đơn vị.
Ta nói rằng một cái cây là hùng vĩ nếu chiều cao của nó ít nhất là . Tìm số lớn nhất sao cho người làm vườn có thể đảm bảo cuối cùng sẽ có cây hùng vĩ trong vườn, bất kể người thợ đốn gỗ chơi như thế nào.
C4. Cho một số nguyên . Giả sử rằng đứa bé được sắp xếp thành một vòng tròn và đồng xu được phân phát cho chúng (một số bé có thể không có đồng xu nào). Ở mỗi bước, bé có ít nhất đồng xu có thể đưa đồng xu cho mỗi bé ngay bên phải và bên trái của mình. Hãy tìm tất cả các cách phân phát các đồng xu ban đầu sao cho sau một số hữu hạn bước, mỗi bé có đúng một đồng xu.
C5. Cho là các số nguyên, là một tập hợp có phần tử, và , , , là các tập hợp con khác rỗng phân biệt của . Một hàm được gọi là tốt nếu tồn tại một chỉ số sao cho Chứng minh rằng số hàm tốt ít nhất là .
C6. Cho là một số nguyên dương. Chúng ta bắt đầu với đống sỏi, mỗi đống ban đầu chỉ chứa một viên sỏi. Người ta có thể thực hiện các bước di chuyển theo hình thức sau: chọn hai đống, lấy một số viên sỏi bằng nhau từ mỗi đống và tạo thành một đống mới từ những viên sỏi này. Tìm, theo , số nhỏ nhất các đống sỏi khác rỗng mà một người có thể thu được bằng cách thực hiện một dãy hữu hạn các bước di chuyển có dạng này.
C7. Lucy bắt đầu bằng cách viết bộ số nguyên lên bảng đen. Sau khi làm điều đó, cô ấy có thể lấy hai bộ bất kỳ (không nhất thiết phải khác nhau) và mà cô ấy đã viết và áp dụng một trong các thao tác sau để lấy bộ mới:
rồi viết bộ này lên bảng. Sau hữu hạn bước, theo cách này, Lucy có thể viết bất kỳ bộ số nguyên nào lên bảng. Số nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?
C8. Cho là một số nguyên dương. Hình vuông Bắc Âu là một bảng ô vuông chứa tất cả các số nguyên từ đến sao cho mỗi ô chứa đúng một số. Hai ô khác nhau được gọi là kề nếu chúng có chung một cạnh. Mỗi ô chỉ kề với các ô chứa số lớn hơn được gọi là thung lũng. Đường lên dốc là một dãy gồm một hoặc nhiều ô sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
(i) ô đầu tiên trong dãy là một thung lũng,
(ii) mỗi ô tiếp theo trong dãy kề với ô trước đó,
(iii) các số trên các ô trong dãy lập thành một dãy tăng theo thứ tự.
Tìm, theo , số nhỏ nhất đường lên dốc có thể có trong một hình vuông Bắc Âu.
C9. Xét các song ánh có tính chất: mỗi khi , thì và . Gọi là số cặp số nguyên sao cho và is số nguyên lẻ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
Trong bài này tôi sẽ dịch phần Hình học trong cuốn IMO Shortlist 2022. Các năm trước bạn có thể tìm ở đường dẫn https://nttuan.org/2023/07/02/isl/
—
G1. Cho ngũ giác lồi với Giả sử có một điểm nằm trong sao cho và . Đường thẳng cắt các đường thẳng và lần lượt tại và Giả sử và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường thẳng cắt các đường thẳng và lần lượt tại và Giả sử và thẳng hàng theo thứ tự đó. Chứng minh rằng các điểm và cùng nằm trên một đường tròn.
G2. Trong tam giác nhọn , điểm là chân đường cao kẻ từ , là một điểm trên đoạn . Các đường thẳng qua song song với và lần lượt cắt tại và . Các điểm và lần lượt nằm trên và sao cho và . Chứng minh rằng các điểm và cùng nằm trên một đường tròn.
G3. Cho là một tứ giác nội tiếp. Giả sử các điểm , , , và thẳng hàng theo thứ tự này sao cho đường thẳng là tiếp tuyến của , và đường thẳng là tiếp tuyến của . Gọi và lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng và . Chứng minh ba đường thẳng sau đồng quy: đường thẳng , tiếp tuyến của tại , và tiếp tuyến của tại .
G4. Cho là một tam giác nhọn có , gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó và là một điểm trên đoạn . Đường thẳng qua vuông góc với lần lượt cắt các đường thẳng và tại và . Các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác và cắt lại nhau tại . Chứng minh rằng nếu và thì là tiếp tuyến của .
G5. Cho là một tam giác và là hai đường thẳng song song. Giả sử với mỗi lần lượt cắt các đường thẳng , , tại . Với mỗi , gọi là tam giác được tạo bởi đường thẳng đi qua và vuông góc với , đường thẳng đi qua và vuông góc với , và đường thẳng đi qua và vuông góc với . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và tiếp xúc với nhau.
G6. Cho là một tam giác nhọn có đường cao và là một điểm thay đổi sao cho các đường phân giác và lần lượt của và gặp nhau trên . Cho gặp tại , gặp tại và gặp tại . Chứng minh rằng khi thay đổi, đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
G7. Hai tam giác có cùng trực tâm và cùng đường tròn ngoại tiếp có tâm . Gọi là tam giác tạo bởi , và , chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác nằm trên .
G8. Cho là một lục giác lồi nội tiếp sao cho là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác và là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác . Cho các đường thẳng và cắt nhau tại , các đường thẳng và cắt nhau tại . Chứng minh rằng nếu là một tứ giác lồi thì nó có đường tròn nội tiếp.