VMO 2009


Bài 1. Giải hệ phương trình \begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+2y^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\ \sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\dfrac{2}{9}.\end{cases}

Bài 2. Cho dãy (x_n) xác định bởi x_1=\dfrac{1}{2}

x_n=\dfrac{\sqrt{x^2_{n-1}+4x_{n-1}}+x_{n-1}}{2}\,\,\forall n\geq 2.

Với mỗi số nguyên dương n, đặt \displaystyle y_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^2}.

Chứng minh rằng dãy (y_n) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 3. Cho 0^{\circ}<\alpha<180^{\circ} và hai điểm cố định A,B\,\, (A\not=B). Xét một điểm C di động trên mặt phẳng sao cho \widehat{ACB}=\alpha. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CA lần lượt tại D,E,F. Các đường thẳng AI,BI lần lượt cắt đường thẳng EF tại M,N. Chứng minh rằng

1/ Đoạn MN có độ dài không đổi;

2/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm cố định.

Continue reading

Posted in Algebra, Combinatorics, Contests, Geometry, High School Math, Number Theory, Resources | 1 Comment

The Pursuit of Beauty – ALEC WILKINSON


I don’t see what difference it can make now to reveal that I passed high-school math only because I cheated. I could add and subtract and multiply and divide, but I entered the wilderness when words became equations and x’s and y’s. On test days, I sat next to Bob Isner or Bruce Gelfand or Ted Chapman or Donny Chamberlain—smart boys whose handwriting I could read—and divided my attention between his desk and the teacher’s eyes. Having skipped me, the talent for math concentrated extravagantly in one of my nieces, Amie Wilkinson, a professor at the University of Chicago. From Amie I first heard about Yitang Zhang, a solitary, part-time calculus teacher at the University of New Hampshire who received several prizes, including a MacArthur award in September, for solving a problem that had been open for more than a hundred and fifty years.

The problem that Zhang chose, in 2010, is from number theory, a branch of pure mathematics. Pure mathematics, as opposed to applied mathematics, is done with no practical purposes in mind. It is as close to art and philosophy as it is to engineering. “My result is useless for industry,” Zhang said. The British mathematician G. H. Hardy wrote in 1940 that mathematics is, of “all the arts and sciences, the most austere and the most remote.” Bertrand Russell called it a refuge from “the dreary exile of the actual world.” Hardy believed emphatically in the precise aesthetics of math. A mathematical proof, such as Zhang produced, “should resemble a simple and clear-cut constellation,” he wrote, “not a scattered cluster in the Milky Way.” Edward Frenkel, a math professor at the University of California, Berkeley, says Zhang’s proof has “a renaissance beauty,” meaning that though it is deeply complex, its outlines are easily apprehended. The pursuit of beauty in pure mathematics is a tenet. Last year, neuroscientists in Great Britain discovered that the same part of the brain that is activated by art and music was activated in the brains of mathematicians when they looked at math they regarded as beautiful.

Continue reading

Posted in Bài viết từ nơi khác | Leave a comment

VMO 2008


Bài 1. Hãy xác định số nghiệm của \begin{cases}x^2+y^3=29\\ \log_3x\cdot\log_2y=1.\end{cases}

Bài 2. Cho tam giác ABC\widehat{BEC}<90^{\circ}, trong đó E là trung điểm của AB. Trên tia EC lấy M sao cho \widehat{BME}=\widehat{ECA}. Ký hiệu \alpha là số đo của góc \widehat{BEC}. Tính \dfrac{MC}{AB} theo \alpha.

Bài 3. Đặt m=2007^{2008}. Có bao nhiêu số tự nhiên n<m thỏa mãn m|n(2n+1)(5n+2)?

Continue reading

Posted in Algebra, Combinatorics, Contests, Geometry, High School Math, Number Theory, Resources | Leave a comment

VMO 2007


Bài 1. Giải hệ phương trình \displaystyle\begin{cases}\sqrt{x}\left(1-\dfrac{12}{3x+y}\right)=2\\ \sqrt{y}\left(1+\dfrac{12}{3x+y}\right)=6.\end{cases}

Bài 2. Cho x,y\in\mathbb{Z}\setminus \{-1\} thỏa mãn \dfrac{x^4-1}{y+1}+\dfrac{y^4-1}{x+1}\in\mathbb{Z}.  Chứng minh rằng x+1|x^4y^{44}-1.

Bài 3. Cho tam giác ABC2 đỉnh B,C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H,G lần lượt là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích A nếu trung điểm của HG nằm trên đường thẳng BC.

Continue reading

Posted in Algebra, Combinatorics, Contests, Geometry, High School Math, Number Theory, Resources | Leave a comment

Kết quả VMO 2015 của Quảng Ninh


Dưới đây là kết quả VMO 2015 của Quảng Ninh, đây là kết quả tốt nhất từ khi thành lập hệ Chuyên của Quảng Ninh, quãng 25 năm. Với kết quả này, sang năm đội VMO của Quảng Ninh sẽ được 8 thành viên.

Chúc thầy và trò đội Toán Quảng Ninh thành công hơn nữa.

Continue reading

Posted in Chưa được phân loại, High School Math | Leave a comment

China MO 2013


Bài 1. Hai đường tròn K_1,K_2 khác bán kính cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi C,D lần lượt là hai điểm trên K_1,K_2 tương ứng sao cho A là trung điểm của CD. Kéo dài DB đến cắt K_1 tại E, kéo dài CB đến cắt K_2 tại F. Gọi l_1,l_2 lần lượt là trung trực của CD,EF.

a) Chứng minh rằng l_1,l_2 cắt nhau. Gọi P là giao điểm của chúng;

b) Chứng minh rằng CA,AP,PE là độ dài các cạnh của một tam giác vuông.

Bài 2. Tìm tất cả các tập con khác rỗng S gồm các số nguyên sao cho 3m-2n\in S\,\,\forall m,n\in S.

Bài 3. Tìm tất cả các số thực dương t sao cho: tồn tại tập vô hạn X các số thực thỏa mãn \max\{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>td với mỗi x,y,z\in X, a\in\mathbb{R}d\in (0;+\infty).

Continue reading

Posted in Contests, High School Math, Resources | Leave a comment

Trường Xuân Toán học 2015 (28/02-04/03/2015)


Thời gian: từ Thứ Bảy 28/02/2015 đến Thứ Tư 04/03/2015.

Địa điểm: Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Cầu Giấy, Hà Nội.

Đối tượng: Các học sinh tham dự kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Olympic Toán quốc tế và các học sinh chuyên toán lớp 10 và 11.

Nội dung: Các bài giảng nâng cao về Hình học, Số học, Đại số và Tổ hợp của các giáo viên:

  • Thầy Hà Huy Khoái (Viện Toán học): Số học
  • Thầy Nguyễn Minh Hà (Trường THPT chuyên ĐHSPHN): Hình học
  • Thầy Phùng Hồ Hải (Viện Toán học): Đại số
  • Thầy Vũ Thế Khôi (Viện Toán học): Tổ hợp
  • Thầy Hà Duy Hưng (Trường THPT chuyên ĐHSPHN): Số học.

Phí tham dự: 800.000 đồng/học sinh, các học sinh có hoàn cảnh khó khăn có thể làm đơn đề nghị miễn đóng phí tham dự.

Hình thức đăng ký: đăng ký tham dự theo đoàn hoặc với tư cách cá nhân bằng cách gửi các thông tin theo mẫu dưới đây cho Câu lạc bộ trước ngày 20/02/2015. Trường Xuân sẽ đón nhận 50 học sinh. Mỗi đoàn gửi đăng ký tối đa 8 học sinh.

Những đơn đăng ký sớm và theo đoàn có giáo viên đi kèm sẽ được ưu tiên.

Thông tin đăng ký và mọi thắc mắc xin gửi về địa chỉ: mathclub@math.ac.vn.

—-

Nguồn: http://vie.math.ac.vn/~mathclub/

Posted in Algebra, Chưa được phân loại, Combinatorics, Contests, Geometry, High School Math, Number Theory | Leave a comment

USA TSTST 2013


Bài 1. Cho tam giác ABCD, E, F lần lượt là trung điểm của các các cung BC, CA, AB trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng \ell_a đi qua chân các đường vuông góc hạ từ A xuống DBDC.  Đường thẳng m_a qua chân các đường vuông góc hạ từ D xuống ABAC.  Gọi A_1 là giao điểm của các đường thẳng \ell_am_a.  Xác định các điểm B_1C_1 tương tư.  Chứng minh rằng tam giác DEFA_1B_1C_1 là đồng dạng.

Bài 2. Một dãy hữu hạn các số nguyên a_1, a_2, \dots, a_n được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực x thỏa mãn \left\lfloor kx \right\rfloor = a_k \quad \text{for } 1 \le k \le n. Cho một dãy chính quy a_1, a_2, \dots, a_n, với 1 \le k \le n ta nói số hạng a_kbị bắt buộc  nếu điều kiện sau thỏa mãn: dãy a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b chính quy nếu và chỉ nếu b = a_k.  Tìm số lớn nhất các số hạng bị bắt buộc trong một dãy chính quy có 1000 số hạng.

Bài 3. Chia mặt phẳng thành một lưới vô hạn các ô vuông bằng cách vẽ tất cả các đường thẳng x=my=n với m,n \in \mathbb Z.  Nếu một ô vuông con có đỉnh trên bên phải có tọa độ chẵn thì tô nó màu đen, trường hợp còn lại tô màu trắng. Cho rs là các số nguyên lẻ, và cho (x,y) là một điểm nằm ở phần trong của một ô trắng sao cho rx-sy là số vô tỷ. Bắn một tia laser từ điểm này với hệ số góc r/s; các tia laser sẽ đi qua ô trắng và phản xạ khi gặp ô đen. Chứng minh rằng đường đi của tia laser này là đóng.

Continue reading

Posted in Contests, High School Math, Resources | Leave a comment

Rumani TST 2013


Bài 1. Cho số nguyên n\geq 2,a_{n},b_{n},c_{n} là các số nguyên thỏa mãn

\displaystyle\left( \sqrt[3]{2}-1\right) ^{n}=a_{n}+b_{n}\sqrt[3]{2}+c_{n}\sqrt[3]{4}.

Chứng minh rằng c_{n}\equiv 1\pmod{3} \Leftrightarrow n\equiv 2\pmod{3}.

Bài 2. Hai đường tròn \Omega \omega tiếp xúc với nhau tại P (\omega nằm trong \Omega ). Một dây AB của \Omega tiếp xúc với \omega tại C; đường thẳng PC cắt \Omega tại điểm thứ hai Q. Các dây QRQS của \Omega tiếp xúc với \omega . Gọi I,X,Y là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác APB, ARB,ASB, tương ứng. Chứng minh rằng \widehat{PXI}+\widehat{PYI}=90^{\circ }.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho: Nếu S là một tập hữu hạn các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle\sum\limits_{s\in S}\frac{1}{s} là một số nguyên, thì \displaystyle\sum\limits_{s\in S}\frac{1}{f\left( s\right) } cũng là một số nguyên.

Continue reading

Posted in High School Math | Leave a comment

Đề thi Olympic Hùng Vương 2014 – Lớp 10


Dechinhthuc10HungVuong2014

Posted in Bài viết từ nơi khác | Leave a comment

Đề IMO 2014 ( tiếng Việt)


2014_vie

Posted in High School Math | Leave a comment

IMO 2014 – Day 2


4. Let P and Q be on segment BC of an acute triangle ABC such that \angle PAB=\angle BCA and \angle CAQ=\angle ABC. Let M and N be the points on AP and AQ, respectively, such that P is the midpoint of AM and Q is the midpoint of AN. Prove that the intersection of BM and CN is on the circumference of triangle ABC.

Continue reading

Posted in Contests, High School Math, Resources | Leave a comment

IMO 2014 – Day 1


1. Let a_0 < a_1 < a_2 \ldots be an infinite sequence of positive integers. Prove that there exists a unique integer n\geq 1 such that
a_n < \dfrac{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \leq a_{n+1}.

Continue reading

Posted in Contests, High School Math, Resources | 6 Comments

Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2014


AA1 2014

AA1 2014 dap an

Posted in Bài viết từ nơi khác | Leave a comment

Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán của Quảng Ninh năm 2014


Bài 1. Cho biểu thức A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right) với x\geq 0, x\not=4, x\not=9.
1/. Rút gọn A;
2/. Tìm x để \dfrac{1}{A} nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2.
1/. Giải hệ phương trình \begin{cases}2x^2-y^2=1\\ xy+x^2=2.\end{cases}
2/. Giải phương trình x^2+\dfrac{4x^2}{(x+2)^2}=5.
Bài 3. Cho a,b,c đôi một khác nhau, c\not =0. Chứng minh rằng nếu các phương trình x^2+ax+bc=0,x^2+bx+ca=0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng là nghiệm của x^2+ca+ab=0.
Bài 4. Cho tam giác ABC với AB>AC. Biết đường cao AH, trung tuyến AM chia góc \widehat{A} thành ba phần bằng nhau.
1/. Chứng minh tam giác vuông tại A;
2/. Gọi O là giao điểm của hai phân giác trong BI,CJ. Chứng minh rằng 2OB.OC=IB.CJ;
3/. Cho DEF là tam giác vuông tại D có một góc 30^{\circ} nội tiếp tam giác ABC\,\, (D\in BC,E\in AC, F\in AB). Tìm vị trí của D,E,F để tam giác DEF có diện tích bé nhất.
Bài 5. Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c\leq 1. Chứng minh rằng
\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}+\dfrac{1}{a^2+2bc}\geq 9.

Posted in Bài viết từ nơi khác, High School Math | Leave a comment