VMO training 2016 – Part 3


Sau post này mình tạm nghỉ, thi TST xong mình lại tiếp tục chia sẻ nhé các bạn. :)

Bài 18. Cho số nguyên tố p>5. Với mỗi số nguyên x ta định nghĩa
f_p(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{(px+k)^2}. Chứng minh rằng với mỗi hai số nguyên dương x,y, khi viết f_p(x)-f_p(y) dưới dạng phân số tối giản thì tử số của nó chia hết cho p^3.
Bài 19. Cho số nguyên dương n và các số nguyên dương a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n thỏa mãn
a_1+a_2+\cdots+a_n=2n,\,\,\, a_n\not =n+1.
a) Chứng minh rằng nếu n chẵn thì tồn tại tập con khác rỗng K của \{1,2,\cdots,n\} sao cho \displaystyle\sum_{i\in K}a_i=n;
b) Chứng minh rằng nếu n lẻ và a_n\not=2 thì kết luận trên vẫn đúng.
Bài 20. Với mỗi số nguyên dương n, xác định tập S_n như sau
S_n = \left \{C_n^n,C_{2n}^n, C_{3n}^n,\cdots,C_{n^2}^n \right \}.
a) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số n sao cho S_n không phải là hệ thặng dư đầy đủ modulo n;
b) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số n sao cho S_n là hệ thặng dư đầy đủ modulo n.
Bài 21. Cho số nguyên dương lẻ n>3. Chứng minh rằng với mỗi x\in [n], ta có thể chia tập [n]\setminus \{x\} thành hai nhóm bằng nhau sao cho tổng các phần tử ở hai nhóm là đồng dư với nhau theo modulo n.
Bài 22. Cho dãy số (v_n)_{n\geq 0} xác định bởi v_0 = 0, v_1 = 1
v_{n+1} = 8 \cdot v_n - v_{n-1},\,\,\forall n = 1,2, ...
Chứng minh rằng dãy trên không chứa các số hạng có dạng 3^{\alpha} \cdot 5^{\beta}\,\,(\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*).
Bài 23. Cho nq là các số nguyên thỏa mãn n \geq 5, 2 \leq q \leq n. Chứng minh rằng q-1 là ước của \left[\dfrac{(n-1)!}{q}\right] .
Bài 24. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương s, tồn tại số nguyên dương n sao cho tổng các chữ số của n bằng ss|n.
Bài 25. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n>1, tồn tại đa thức với hệ số nguyên có bậc bé hơn n sao cho giá trị của nó tại 1,2,\cdots,n là các lũy thừa đôi một khác nhau của 2. Continue reading “VMO training 2016 – Part 3”

Kết quả VMO 2016


Kết quả của đội Hà Nội

ketquavmo2016

File kết quả từ Bộ Giáo dục Ket qua HSGQG 2016

Thông tin dưới đây được lấy từ Fb của thầy Nguyễn Khắc Minh. :)

——

VMO (đọc nôm là “vờ mo”; đọc theo kiểu Ăng lê là “vi em âu”) là tên viết tắt bằng tiếng Anh của Kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán lớp 12 THPT.
VMO được tổ chức hằng năm; cơ quan tổ chức kì thi là Bộ GD&ĐT (bàn dân thiên hạ thường gọi tắt là Bộ Dục). VMO tổ chức vào năm x được gọi tắt là VMO x.
Thí sinh của kì thi là các học sinh đang học cấp THPT tại năm tổ chức kì thi. Số lượng học sinh được phép dự thi của mỗi tỉnh/thành phố trực thuộc Trung ương hoặc một đại học/trường đại học có Khối, Trường THPT chuyên (dưới đây được gọi chung là “đơn vị”) do cơ quan tổ chức kì thi ấn định, chiểu theo Quy chế thi chọn HSG QG hiện hành. Học sinh của mỗi đơn vị sẽ dự thi tại Hội đồng coi thi được thành lập tại đơn vị đó (ngoại trừ một vài trường hợp đặc biệt).

VMO 2016 được tổ chức trong 02 ngày, 06 và 07/01/2016. Tham dự VMO 2016 có 464 học sinh thuộc 69 đơn vị; trong đó, có 04 học sinh đang học lớp 10 (em Phạm Nam Khánh, trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterđam, Tp. Hà Nội, em Tạ Anh Dũng, trường THPT chuyên Hùng Vương, tỉnh Phú Thọ, em Huỳnh Bách Khoa và em , trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo, tỉnh Bình Thuận).
Theo đánh giá của dư luận, so với đề thi của các VMO trước, Đề thi của VMO 2016 có một số yếu tố “lạ”. Cá nhân tôi, hi vọng Đề thi VMO 2016 sẽ tạo ra bước ngoặt cần thiết cho việc ra đề thi trong các VMO tới đây.
Tới thời điểm này, việc chấm thi và các thủ tục xét trao giải của VMO 2016 đã được hoàn tất. Điểm số cao nhất của kì thi là 37/40; có 01 thí sinh đạt điểm số này (em Vũ Đức Tài, trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, tỉnh Nam Định).
Chiểu theo Quy chế thi chọn HSG QG THPT hiện hành và căn cứ kết quả chấm thi, Lãnh đạo Bộ GD&ĐT đã quyết định ngưỡng điểm cho mỗi loại giải như sau: Giải Nhất: 32 điểm; Giải Nhì: 27 điểm; Giải Ba: 22 điểm và Giải Khuyến Khích (KK): 18 điểm.
Theo đó, có 232 thí sinh (chiếm 50% tổng số học sinh dự thi) được trao giải; gồm 09 thí sinh được trao Giải Nhất (trong đó, có 06 học sinh lớp 12, 02 học sinh lớp 11 và 01 học sinh lớp 10 (em Phạm Nam Khánh)), 48 thí sinh được trao Giải Nhì, 82 thí sinh được trao Giải Ba (trong đó có 01 học sinh lớp 10 (em Huỳnh Bách Khoa) và 93 thí sinh được trao Giải KK.
Trong số 69 đơn vị có học sinh dự thi, có 13 đơn vị không có học sinh đạt giải.
Dưới đây là thống kê số lượng giải mỗi loại của các đơn vị có học sinh đạt giải: Continue reading “Kết quả VMO 2016”

25/01/2016-Bất đẳng thức


Bài 1. Cho các số thực dương a,b,c và $d$ thỏa mãn a+b+c+d=1. Chứng minh rằng
6(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq a^2+b^2+c^2+d^2+\dfrac{1}{8}.
Bài 2. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8.

Bài 3. Cho các số thực a,bc thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}\leq\frac{9}{10}.
Bài 4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2.
Bài 5. Cho các số thực không âm a,bc thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 1.
Bài 6. Cho a,bc là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\geq 4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right).
Bài 7. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{(c+a-b)^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{(a+b-c)^2}{c^2+(a+b)^2}\geq \frac{3}{5}. Continue reading “25/01/2016-Bất đẳng thức”

Toà nhà hình học phẳng và căn nhà hướng của TS Nguyễn Minh Hà


NMHHình học phẳng Euclid (gọi tắt là hình học phẳng) là một trong những ngành khoa học cổ xưa nhất của nhân loại. Có lẽ nó được hình thành từ khi người Ai Cập cổ bắt đầu canh tác trên bờ sông Nin. Từ thế kỷ thứ VII đến thế kỉ thứ III trước Công nguyên các kiến thức hình học dần dần được hệ thống, hình học bắt đầu mang dáng dấp của một bộ môn khoa học. Công lao hệ thống hoá ấy thuộc về trường phái triết học và toán học của các nhà bác học vĩ đại: Thales (624 – 546 TCN), Pythagoras (570 – 495 TCN) …. Vào thế kỉ thứ III TCN, các kiến thức hình học được tổng kết xuất sắc trong tác phẩm “Nguyên lí” của Euclid (330 – 275 TCN), nhà toán học số một của nhân loại. Theo Euclid, để định nghĩa một khái niệm hình học ta buộc phải dựa vào những khái niệm đã được định nghĩa trước đó và như vậy phải có những khái niệm đầu tiên không định nghĩa mà mô tả, đó là những khái niệm cơ bản, đương nhiên số các khái niệm cơ bản càng ít thì càng tốt, mỗi khái niêm cơ bản được mô tả càng đơn giản thì càng hay. Theo Euclid, để chứng minh một định lí hình học ta buộc phải dựa vào nhưng định lí đã được chứng minh trước đó và như vậy phải có những định lí đầu tiên không chứng minh mà công nhận, đó là những tiên đề, đương nhiên số các tiên đề càng ít thì càng tốt, mỗi một tiên đề được phát biểu càng đơn giản thì càng hay. Hệ thống các khái niệm cơ bản và các tiên đề của Euclid được gọi là hệ tiên đề Euclid. Với hệ tiên đề Euclid, toà nhà hình học phẳng đã được xây dựng. Continue reading “Toà nhà hình học phẳng và căn nhà hướng của TS Nguyễn Minh Hà”

VMO training 2016 – Part 2


Bài 10. Chứng minh rằng tồn tại 2015 số nguyên dương liên tiếp sao cho trong chúng có đúng 14 số nguyên tố.
Bài 11. Với số nguyên dương chẵn n ta đặt các số 1,2,...,n^2 vào các ô của bàn cờ cỡ n\times n (mỗi số xuất hiện đúng một lần trên bàn). Gọi S_1 là tổng các số trên các ô đen và S_2 là tổng các số trên các ô trắng. Tìm tất cả n sao cho ta có thể có \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{39}{64}.
Bài 12. Cho số nguyên tố lẻ p. Một bộ (a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p) các số nguyên được gọi là tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) 0\le a_i\le p-1 với mỗi i;
(2) a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p không chia hết cho p;
(3) a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1 chia hết cho p.
Tìm số các bộ tốt.
Bài 13. Cho A là một tập hữu hạn các số thực dương, B = \{x/y\mid x,y\in A\}C = \{xy\mid x,y\in A\}. Chứng minh rằng |A|\cdot|B|\le|C|^2.
Bài 14. Cho n>1 là một số nguyên dương và T_n là số các tập con khác rỗng của tập \{1,2,\cdots,n\} sao cho trung bình cộng tất cả các phần tử của nó là một số nguyên. Chứng minh rằng T_n-n là một số chẵn.
Bài 15. Tìm số đa thức f(x)=ax^3+bx thỏa mãn cả hai điều kiện:
(i) a,b\in\{1,2,\ldots,2013\};
(ii) \{f(1),f(2),\ldots,f(2013)\} là một hệ thặng dư đầy đủ modulo 2013. Continue reading “VMO training 2016 – Part 2”

Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad


mathbabe

Brian Conrad is a math professor at Stanford and was one of the participants at the Oxford workshop on Mochizuki’s work on the ABC Conjecture. He is an expert in arithmetic geometry, a subfield of number theory which provides geometric formulations of the ABC Conjecture (the viewpoint studied in Mochizuki’s work).

Since he was asked by a variety of people for his thoughts about the workshop, Brian wrote the following summary. He hopes that a non-specialist may also learn something from these notes concerning the present situation. Forthcoming articles in Nature and Quanta on the workshop will be addressed at the general public. This writeup has the following structure:

  1. Background
  2. What has delayed wider understanding of the ideas?
  3. What is Inter-universal Teichmuller Theory (IUTT = IUT)?
  4. What happened at the conference?
  5. Audience frustration
  6. Concluding thoughts
  7. Technical appendix

1.  Background

The ABC Conjecture is one of the outstanding conjectures in number…

View original post 7,552 more words

VMO training 2016 – Part 1


Trong topic này và các topic sau, tôi sẽ giới thiệu một số bài toán được dùng cho đợt luyện VMO vừa rồi.

Bài 1. Cho số nguyên tố p và số nguyên dương n thỏa mãn n\geq p. Chứng minh rằng C_n^p-\left[\dfrac{n}{p}\right] chia hết cho p.

Bài 2. Xét hai số nguyên dương m,n>1 thỏa mãn \gcd (m,n)=1, n lẻ, m chẵn. Chứng minh rằng tổng \displaystyle \frac{1}{2n}+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{\left[\frac{mk}{n}\right]}\left\{\frac{mk}{n}\right\} không phụ thuộc vào mn.

Bài 3. Cho số nguyên dương n2n số thực
x_1,x_2,\cdots,x_n;\,\,\,y_1,y_2,\cdots,y_n thỏa mãn
x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n;\,\,y_1\geq y_2\geq\cdots\geq y_n;\,\,\,\sum_{i=1}^n ix_i=\sum_{i=1}^niy_i. Chứng minh rằng với mỗi số thực \alpha ta có \displaystyle \sum_{i=1}^n [i\alpha]x_i\geq\sum_{i=1}^n[i\alpha]y_i.

Continue reading “VMO training 2016 – Part 1”

Hai cuốn sách mới của TS Nguyễn Minh Hà


Trong bài này mình giới thiệu với mọi người hai cuốn sách mới của Thầy Nguyễn Minh Hà.

P. S. Mình đợi hai cuốn này lâu lắm rồi. :)

Continue reading “Hai cuốn sách mới của TS Nguyễn Minh Hà”

Kì thi chọn HSG Quốc gia THPT năm 2016 – Môn Toán (VMO 2016)


8:45 AM, 06/01/2016: Trong lúc học sinh thi thì mình ngồi lập topic này, đề sẽ có ở đây lúc chiều nay. :) Continue reading “Kì thi chọn HSG Quốc gia THPT năm 2016 – Môn Toán (VMO 2016)”

Một bài mở đầu về Hình học giải tích phẳng


Bài toán. Cho hai điểm A(1;0)B(2;3).
1) Chứng minh rằng O,A,B không thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB của OAB;
2) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với OB;
3) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao qua O của tam giác OAB;
4) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng AB;
5) Tìm tọa độ của điểm O' đối xứng với O qua AB. Continue reading “Một bài mở đầu về Hình học giải tích phẳng”