Đa thức – Định nghĩa và các phép toán


Định nghĩa
Trong mục này \mathbb{K} sẽ được hiểu là \mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q} hay \mathbb{Z}.

Gọi D là một tập con của \mathbb{K}. Một hàm f:D\to\mathbb{C} được gọi là một đa thức trên D nếu có số tự nhiên n và các hằng số a_n,a_{n-1},\cdots,a_0 sao cho
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,\forall x\in D.
Sau đây nếu không nói cụ thể ta sẽ luôn hiểu là D=\mathbb{K}.
Với đa thức f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\,(a_n\not =0), ta sẽ gọi các a_i là các hệ số của f, a_n là hệ số cao nhất, a_0 là hệ số tự do. f được gọi là monic nếu a_n=1. Số n được gọi là bậc của f, ta viết \deg f=n và quy ước bậc của đa thức 0 (là đa thức mà f(x)=0\,\,\forall x\in\mathbb{K}) bằng -\infty.
Đa thức f được gọi là đa thức hằng nếu có hằng số C\in\mathbb{K} thỏa mãn f(x)=C\,\,\forall x\in\mathbb{K}, theo trên ta có nếu C là một hằng số khác 0 thì \deg C=0.
Tập các đa thức với hệ số thuộc \mathbb{K} cùng với đa thức 0 sẽ được ký hiệu là \mathbb{K}[x].
Hai đa thức f,g\in\mathbb{K}[x] được gọi là bằng nhau, và viết f=g, nếu chúng cùng là đa thức 0 hoặc cả hai khác 0 đồng thời \deg f=\deg g và các hệ số tương ứng bằng nhau.
Cho r\in\mathbb{C}f(x)=\sum a_ix^i\in\mathbb{K}[x]. Giá trị của f tại r là một số phức, kí hiệu bởi f(r), và được cho bởi f(r)=\sum a_ir^i, r được gọi là nghiệm của f nếu f(r)=0. Số r được gọi là nghiệm bội k\,\,(k\in\mathbb{N}^*) của f nếu f(x)=(x-r)^kg(x), ở đây g là một đa thức không nhận r làm nghiệm. Nếu f là một đa thức có bậc dương thì số nghiệm của f nhiều nhất bằng \deg f tính cả bội (nếu tính nghiệm phức thì có đủ \deg f nghiệm), chỉ có đa thức 0 là đa thức có vô số nghiệm.
Ví dụ 1. Tìm bậc, hệ số hằng, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức sau
1/. 3x^4-3x^2+1
2/. 6x^2
3/. (2x^3-1)(x+2).
Ví dụ 2. Tìm
1/. Một đa thức monic có bậc 12.
2/. Một đa thức có bậc 5 nhưng không phải là monic.
3/. Một đa thức có bậc 0.
Ví dụ 3. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
P(x)=P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho
P(x)=-P(-x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng \sin x không phải là một đa thức với hệ số thực trên \mathbb{R}.

Continue reading

Posted in Algebra, High School Math, Polynomial | Tagged , | Leave a comment

Một số trang cho tải sách điện tử miễn phí


Đây là một số trang mình hay dùng, bạn nào có trang khác thì bổ sung ở comment nhé!

http://gen.lib.rus.ec/
http://ebookee.org/
http://it-ebooks.info/
http://en.bookfi.org/
http://avaxhome.ws/ebooks
http://libgen.info/
http://libgen.org/
http://btdigg.org/
http://monoskop.org/log/
http://bookova.com/

Continue reading

Posted in Bài viết từ nơi khác | Leave a comment

15 – 07 – 2015


Bài 1. x_1<1,x_{n+1}=\dfrac{-x_n+\sqrt{3-3x_n^2}}{2}\,\forall n\geq 1. Tìm điều kiện để dãy gồm toàn số hạng dương. Xét tính tuần hoàn của dãy.

Bài 2. Tìm a để các số hạng của dãy x_0=a,x_{n+1}=2x_n^2-1\,\forall n\geq 0 đôi một khác nhau.

Bài 3.  Chứng minh chỉ có một dãy (u_n) thoả mãn u_1=2,u_{n+1}=\dfrac{2+u_n}{1-2u_n}\,\forall n\geq 1. Chứng minh dãy này gồm toàn số khác 0 và nó không tuần hoàn.

Posted in Algebra, High School Math | Leave a comment

Kết quả IMO 2015


Đây là kết quả của đội Việt Nam

IMO2015

Vậy ta có 2 vàng, 3 bạc, và 1 đồng.

Nếu tính theo tổng điểm thì mình thứ 05 các bạn ạ! https://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2015 , xếp trên các bạn Nga. :P

Năm nay chỉ có 1 bạn 42/42 là A. Song, thuộc đội Canada https://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=19624

Posted in Bài viết từ nơi khác | Leave a comment

IMO Shortlist 2014


Đợi cả năm mới dám công bố. Mọi người download ở link https://www.imo-official.org/problems.aspx nhé! Trong link đó còn có đề IMO 2015 bản tiếng Việt.

Chúc mọi người cuối tuần vui vẻ.

Posted in Contests, Resources | Leave a comment

IMO 2015 – Ngày thứ hai


Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn \Omega tâm O. Đường tròn \Gamma tâm A cắt đoạn thẳng BC tại các điểm DE sao cho B,D,E,C đôi một khác nhau và nằm trên đường thẳng BC theo thứ tự đó. Gọi FG là các giao điểm của \Omega \Gamma sao cho A,F,B,C,G nằm trên \Omega theo thứ tự đó. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF với đoạn thẳng AB. Gọi L là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE với đoạn thẳng CA. Giả sử các đường thẳng FK,GL cắt nhau tại X. Chứng minh rằng X nằm trên đường thẳng AO.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho
f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 6. Cho dãy số nguyên (a_n) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
(i) 1\leq a_j\leq 2015\,\,\forall j\geq 1;
(ii) k+a_k\not =l+a_l với mỗi hai số nguyên dương phân biệt kl.
Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương bN sao cho
\left|\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right|\leq 1007^2 với mỗi hai số nguyên dương mn thỏa mãn n>m\geq N.

Posted in Contests, Resources | Leave a comment

IMO 2015 – Ngày thứ nhất


Bài 1. Một tập hợp hữu hạn S các điểm nằm trên mặt phẳng là cân bằng nếu như với hai điểm A,B phân biệt thuộc S, luôn tồn tại một điểm C thuộc SAC=BC. Ta gọi tập hợp S là không tâm nếu như với mọi bộ ba điểm A,BC thuộc S, không tồn tại điểm P thuộc S sao cho PA=PB=PC.
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n\geq 3, tồn tại một tập hợp cân bằng có n điểm.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n\geq 3 sao cho tồn tại một tập vừa cân bằng, vừa không tâm và có n điểm.

Bài 2. Xác định tất cả bộ ba (a,b,c) các số nguyên dương sao cho các số sau ab-c,\text{ }bc-a,\text{ }ca-b đều là các lũy thừa của 2.

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn với AB>AC. Gọi \Gamma là đường tròn ngoại tiếp tam giác, H là trực tâm của tam giác và F là chân đường cao kẻ từ đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi Q là điểm nằm trên \Gamma sao cho \angle HQA=90^\circ và gọi K là điểm nằm trên \Gamma sao cho \angle HKQ=90^\circ . Giả sử các điểm A,B,C,KQ đều phân biệt và nằm trên \Gamma theo thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KQHFKM tiếp xúc nhau.

Posted in Contests, Resources | Leave a comment

VMO 2009


Bài 1. Giải hệ phương trình \begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+2y^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\ \sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\dfrac{2}{9}.\end{cases}

Bài 2. Cho dãy (x_n) xác định bởi x_1=\dfrac{1}{2}

x_n=\dfrac{\sqrt{x^2_{n-1}+4x_{n-1}}+x_{n-1}}{2}\,\,\forall n\geq 2.

Với mỗi số nguyên dương n, đặt \displaystyle y_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^2}.

Chứng minh rằng dãy (y_n) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 3. Cho 0^{\circ}<\alpha<180^{\circ} và hai điểm cố định A,B\,\, (A\not=B). Xét một điểm C di động trên mặt phẳng sao cho \widehat{ACB}=\alpha. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CA lần lượt tại D,E,F. Các đường thẳng AI,BI lần lượt cắt đường thẳng EF tại M,N. Chứng minh rằng

1/ Đoạn MN có độ dài không đổi;

2/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm cố định.

Continue reading

Posted in Algebra, Combinatorics, Contests, Geometry, High School Math, Number Theory, Resources | 1 Comment

The Pursuit of Beauty – ALEC WILKINSON


I don’t see what difference it can make now to reveal that I passed high-school math only because I cheated. I could add and subtract and multiply and divide, but I entered the wilderness when words became equations and x’s and y’s. On test days, I sat next to Bob Isner or Bruce Gelfand or Ted Chapman or Donny Chamberlain—smart boys whose handwriting I could read—and divided my attention between his desk and the teacher’s eyes. Having skipped me, the talent for math concentrated extravagantly in one of my nieces, Amie Wilkinson, a professor at the University of Chicago. From Amie I first heard about Yitang Zhang, a solitary, part-time calculus teacher at the University of New Hampshire who received several prizes, including a MacArthur award in September, for solving a problem that had been open for more than a hundred and fifty years.

The problem that Zhang chose, in 2010, is from number theory, a branch of pure mathematics. Pure mathematics, as opposed to applied mathematics, is done with no practical purposes in mind. It is as close to art and philosophy as it is to engineering. “My result is useless for industry,” Zhang said. The British mathematician G. H. Hardy wrote in 1940 that mathematics is, of “all the arts and sciences, the most austere and the most remote.” Bertrand Russell called it a refuge from “the dreary exile of the actual world.” Hardy believed emphatically in the precise aesthetics of math. A mathematical proof, such as Zhang produced, “should resemble a simple and clear-cut constellation,” he wrote, “not a scattered cluster in the Milky Way.” Edward Frenkel, a math professor at the University of California, Berkeley, says Zhang’s proof has “a renaissance beauty,” meaning that though it is deeply complex, its outlines are easily apprehended. The pursuit of beauty in pure mathematics is a tenet. Last year, neuroscientists in Great Britain discovered that the same part of the brain that is activated by art and music was activated in the brains of mathematicians when they looked at math they regarded as beautiful.

Continue reading

Posted in Bài viết từ nơi khác | Leave a comment

VMO 2008


Bài 1. Hãy xác định số nghiệm của \begin{cases}x^2+y^3=29\\ \log_3x\cdot\log_2y=1.\end{cases}

Bài 2. Cho tam giác ABC\widehat{BEC}<90^{\circ}, trong đó E là trung điểm của AB. Trên tia EC lấy M sao cho \widehat{BME}=\widehat{ECA}. Ký hiệu \alpha là số đo của góc \widehat{BEC}. Tính \dfrac{MC}{AB} theo \alpha.

Bài 3. Đặt m=2007^{2008}. Có bao nhiêu số tự nhiên n<m thỏa mãn m|n(2n+1)(5n+2)?

Continue reading

Posted in Algebra, Combinatorics, Contests, Geometry, High School Math, Number Theory, Resources | Leave a comment

VMO 2007


Bài 1. Giải hệ phương trình \displaystyle\begin{cases}\sqrt{x}\left(1-\dfrac{12}{3x+y}\right)=2\\ \sqrt{y}\left(1+\dfrac{12}{3x+y}\right)=6.\end{cases}

Bài 2. Cho x,y\in\mathbb{Z}\setminus \{-1\} thỏa mãn \dfrac{x^4-1}{y+1}+\dfrac{y^4-1}{x+1}\in\mathbb{Z}.  Chứng minh rằng x+1|x^4y^{44}-1.

Bài 3. Cho tam giác ABC2 đỉnh B,C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H,G lần lượt là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích A nếu trung điểm của HG nằm trên đường thẳng BC.

Continue reading

Posted in Algebra, Combinatorics, Contests, Geometry, High School Math, Number Theory, Resources | Leave a comment

Kết quả VMO 2015 của Quảng Ninh


Dưới đây là kết quả VMO 2015 của Quảng Ninh, đây là kết quả tốt nhất từ khi thành lập hệ Chuyên của Quảng Ninh, quãng 25 năm. Với kết quả này, sang năm đội VMO của Quảng Ninh sẽ được 8 thành viên.

Chúc thầy và trò đội Toán Quảng Ninh thành công hơn nữa.

Continue reading

Posted in Chưa được phân loại, High School Math | Leave a comment

China MO 2013


Bài 1. Hai đường tròn K_1,K_2 khác bán kính cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi C,D lần lượt là hai điểm trên K_1,K_2 tương ứng sao cho A là trung điểm của CD. Kéo dài DB đến cắt K_1 tại E, kéo dài CB đến cắt K_2 tại F. Gọi l_1,l_2 lần lượt là trung trực của CD,EF.

a) Chứng minh rằng l_1,l_2 cắt nhau. Gọi P là giao điểm của chúng;

b) Chứng minh rằng CA,AP,PE là độ dài các cạnh của một tam giác vuông.

Bài 2. Tìm tất cả các tập con khác rỗng S gồm các số nguyên sao cho 3m-2n\in S\,\,\forall m,n\in S.

Bài 3. Tìm tất cả các số thực dương t sao cho: tồn tại tập vô hạn X các số thực thỏa mãn \max\{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>td với mỗi x,y,z\in X, a\in\mathbb{R}d\in (0;+\infty).

Continue reading

Posted in Contests, High School Math, Resources | Leave a comment

Trường Xuân Toán học 2015 (28/02-04/03/2015)


Thời gian: từ Thứ Bảy 28/02/2015 đến Thứ Tư 04/03/2015.

Địa điểm: Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Cầu Giấy, Hà Nội.

Đối tượng: Các học sinh tham dự kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Olympic Toán quốc tế và các học sinh chuyên toán lớp 10 và 11.

Nội dung: Các bài giảng nâng cao về Hình học, Số học, Đại số và Tổ hợp của các giáo viên:

  • Thầy Hà Huy Khoái (Viện Toán học): Số học
  • Thầy Nguyễn Minh Hà (Trường THPT chuyên ĐHSPHN): Hình học
  • Thầy Phùng Hồ Hải (Viện Toán học): Đại số
  • Thầy Vũ Thế Khôi (Viện Toán học): Tổ hợp
  • Thầy Hà Duy Hưng (Trường THPT chuyên ĐHSPHN): Số học.

Phí tham dự: 800.000 đồng/học sinh, các học sinh có hoàn cảnh khó khăn có thể làm đơn đề nghị miễn đóng phí tham dự.

Hình thức đăng ký: đăng ký tham dự theo đoàn hoặc với tư cách cá nhân bằng cách gửi các thông tin theo mẫu dưới đây cho Câu lạc bộ trước ngày 20/02/2015. Trường Xuân sẽ đón nhận 50 học sinh. Mỗi đoàn gửi đăng ký tối đa 8 học sinh.

Những đơn đăng ký sớm và theo đoàn có giáo viên đi kèm sẽ được ưu tiên.

Thông tin đăng ký và mọi thắc mắc xin gửi về địa chỉ: mathclub@math.ac.vn.

—-

Nguồn: http://vie.math.ac.vn/~mathclub/

Posted in Algebra, Chưa được phân loại, Combinatorics, Contests, Geometry, High School Math, Number Theory | Leave a comment

USA TSTST 2013


Bài 1. Cho tam giác ABCD, E, F lần lượt là trung điểm của các các cung BC, CA, AB trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng \ell_a đi qua chân các đường vuông góc hạ từ A xuống DBDC.  Đường thẳng m_a qua chân các đường vuông góc hạ từ D xuống ABAC.  Gọi A_1 là giao điểm của các đường thẳng \ell_am_a.  Xác định các điểm B_1C_1 tương tư.  Chứng minh rằng tam giác DEFA_1B_1C_1 là đồng dạng.

Bài 2. Một dãy hữu hạn các số nguyên a_1, a_2, \dots, a_n được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực x thỏa mãn \left\lfloor kx \right\rfloor = a_k \quad \text{for } 1 \le k \le n. Cho một dãy chính quy a_1, a_2, \dots, a_n, với 1 \le k \le n ta nói số hạng a_kbị bắt buộc  nếu điều kiện sau thỏa mãn: dãy a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b chính quy nếu và chỉ nếu b = a_k.  Tìm số lớn nhất các số hạng bị bắt buộc trong một dãy chính quy có 1000 số hạng.

Bài 3. Chia mặt phẳng thành một lưới vô hạn các ô vuông bằng cách vẽ tất cả các đường thẳng x=my=n với m,n \in \mathbb Z.  Nếu một ô vuông con có đỉnh trên bên phải có tọa độ chẵn thì tô nó màu đen, trường hợp còn lại tô màu trắng. Cho rs là các số nguyên lẻ, và cho (x,y) là một điểm nằm ở phần trong của một ô trắng sao cho rx-sy là số vô tỷ. Bắn một tia laser từ điểm này với hệ số góc r/s; các tia laser sẽ đi qua ô trắng và phản xạ khi gặp ô đen. Chứng minh rằng đường đi của tia laser này là đóng.

Continue reading

Posted in Contests, High School Math, Resources | Leave a comment