Balkan MO 2016


Bài 1. Tìm tất cả các đơn ánh f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R sao cho với mọi số thực x và mọi số nguyên dương n ta có

\displaystyle\left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right|<2016.

Bài 2. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp với AB<CD. Các đường chéo cắt nhau tại F và các đường thẳng ADBC cắt nhau tại E. Gọi KL là hình chiếu vuông góc của F trên ADBC tương ứng, và M, S, T là trung điểm của EF, CF, DF tương ứng. Chứng minh rằng giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKT và đường tròn ngoại tiếp tam giác MLS nằm trên CD.

Bài 3. Tìm tất cả các đa thức monic f với hệ số nguyên sao cho tồn tại số nguyên dương N để p chia hết 2(f(p)!)+1 với mọi số nguyên tố p>N thỏa mãn f(p) là số nguyên dương. Continue reading “Balkan MO 2016”

China Team Selection Test 2016 (2)


Mời các bạn xem phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 7. Cho P là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC. D,E,F là các điểm đối xứng với P qua BC,CA,AB tương ứng. Các tia AP,BP,CP cắt lại đường tròn ngoại tiếp \triangle ABC tại L,M,N tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của \triangle PDL,\triangle PEM,\triangle PFN cùng đi qua một điểm T khác P.

Bài 8. Tìm số thực dương \lambda nhỏ nhất sao cho với mỗi 12 điểm P_1,P_2,\ldots,P_{12} trên mặt phẳng, nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không vượt quá 1 thì \displaystyle\sum_{1\le i<j\le 12} |P_iP_j|^2\le \lambda.

Bài 9. Cho P là một tập hữu hạn gồm các số nguyên tố, A là một tập vô hạn gồm các số nguyên dương sao cho mọi phần tử của A có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P. Chứng minh rằng tồn tại tập con vô hạn B của A thỏa mãn tổng của các phần tử trong mỗi tập con hữu hạn của B có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (2)”

Final Korean Mathematical Olympiad 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E tương ứng là chân các đường cao qua B,C của tam giác. Gọi S,T lần lượt là các điểm đối xứng với E qua AC, BC. Đường tròn ngoại tiếp của \triangle CST cắt lại AC tại X (\not= C). Ký hiệu tâm của đường tròn ngoại tiếp \triangle CSTO. Chứng minh XO \perp DE.

Bài 2. Cho hai số nguyên n, k thỏa mãn n \ge 2k \ge \dfrac{5}{2}n-1. Chứng minh rằng với mỗi k điểm lưới với tọa độ (x;y) thỏa mãn x,y\in [n], tồn tại một đường tròn đi qua ít nhất 4 trong chúng.

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỷ x,y ta luôn có x-\dfrac{1}{x}+y-\dfrac{1}{y}\not=4. Continue reading “Final Korean Mathematical Olympiad 2016”

Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2014 – 2015)


Bài 1. (5 điểm) Cho (C):y=\dfrac{2x-1}{x+1}.
1) Xét một điểm M trên (C). Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A,B. Chứng minh rằng diện tích tam giác AIB không phụ thuộc M (ở đây I là giao của hai tiệm cận);
2) Tìm các cặp tiếp tuyến song song của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng lớn nhất. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2014 – 2015)”