Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2014 – 2015)


Bài 1. (5 điểm) Cho (C):y=\dfrac{2x-1}{x+1}.
1) Xét một điểm M trên (C). Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A,B. Chứng minh rằng diện tích tam giác AIB không phụ thuộc M (ở đây I là giao của hai tiệm cận);
2) Tìm các cặp tiếp tuyến song song của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng lớn nhất. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2014 – 2015)”

Phương trình và bất phương trình chứa căn-Phương pháp biến đổi tương đương


Chỉ bình phương hai vế khi chắc chắn hai vế không âm

Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau

a)x-\sqrt{2x+3}=0;

b)\sqrt{x-1}<x-2;

c)\sqrt{3x+1}\geq 4x-2.

Bài 2. Giải các phương trình

a)\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2x};

b)\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-3}.

Bài 3. Giải các bất phương trình

a)\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x^2-4x+3}\geq 2\sqrt{x^2-5x+4};

b)\sqrt{x^2-8x+15}+\sqrt{x^2+2x-15}\leq\sqrt{4x^2-18x+18}.

Bài 4. Giải các bất phương trình

a)(x-3)\sqrt{x^2-4}\leq x^2-9;

b)\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+3x-5}}>\dfrac{1}{2x-1}.

Bài 5. Giải các phương trình

a)\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=\sqrt{5};

b)\dfrac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x.

Bài 6. Giải các phương trình

a)\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{x+3}{2};

b)\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2};

c)x^2+\sqrt{x+1}=1.

Bài 7. Giải phương trình

\dfrac{x^2+7x+4}{x+2}=4\sqrt{x}.

Bài 8. Giải các phương trình và bất phương trình

a)\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\dfrac{x+3}{5};

b)2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}>x-2;

c)3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}.

Bài 9. Giải bất phương trình

\sqrt{x^4-2x^2+1}>1-x.

Bài 10. Giải các phương trình và bất phương trình

a)\dfrac{\sqrt{2-x}+4x-3}{x}\geq 2;

Đáp số: x<0 hoặc 1\leq x\leq 2.

b)\sqrt{5x+1}-\sqrt{4x-1}\leq 3\sqrt{x};

Đáp số: x\geq 1/4.

c)\dfrac{2x^2}{(3-\sqrt{9+2x})^2}<x+21;

Đáp số: -9/2\leq x<0,0<x<7/2.

d)\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}>\dfrac{3}{2};

Đáp số: x\geq 1.

e)\sqrt{x^2+3x+2}+\sqrt{x^2+6x+5}\leq\sqrt{2x^2+9x+7};

Đáp số: x=-1,-2,-5.

f)\sqrt{x^2-3x+2}>2x-5;

Đáp số: x\leq 1, 2\leq x\leq\dfrac{17+\sqrt{13}}{6}.

g)\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2;

Đáp số: x=\pm 1.

h)\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3;

Đáp số: -1/2\leq x\leq 1/2x\not =0;

i)\sqrt{8x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{7x+4}+\sqrt{2x-2};

Đáp số: x=3.