Đề thi chọn HSG Quốc gia của Hàn Quốc năm 2017


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho \triangle ABC nhọn có tâm đường tròn ngoại tiếp O. Đường tròn (OAB), gọi là O_1, và đường tròn (OAC), gọi là O_2, cắt lại BC tại D\, ( \not=B )E\, ( \not= C ) tương ứng. Trung trực của BC cắt AC tại F. Chứng minh rằng tâm của (ADE) nằm trên AC khi và chỉ khi các tâm của O_1, O_2F thẳng hàng.

Bài 2. Cho số nguyên dương n(a_0, a_1, \cdots , a_n) là một bộ các số nguyên. Với k=0, 1, \cdots , n, gọi b_k  là số các k trong (a_0, a_1, \cdots ,a_n). Với k = 0,1, \cdots , n, gọi c_k là số các k trong (b_0, b_1, \cdots ,b_n). Tìm tất cả (a_0, a_1, \cdots ,a_n) sao cho a_0 = c_0, a_1=c_1, \cdots, a_n=c_n.

Bài 3. Cho dãy số (c_n) xác định bởi c_n=2017^n,\,\forall n\in\mathbb{N}^*. Xét các hàm số f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) f(m+n) \le 2017 \cdot f(m) \cdot f(n+325),\,\forall m,n\in\mathbb{N}^*.

2) 0<f(c_{n+1})<f(c_n)^{2017},\,\forall n\in\mathbb{N}^*.

Chứng minh rằng tồn tại dãy số a_1, a_2, \cdots sao cho với mọi n, k thỏa mãn a_k<n, ta có f(n)^{c_k} < f(c_k)^n.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho n>1 số a_1, a_2, \cdots ,a_n thỏa mãn a_1 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

\displaystyle a_k = \frac{(n+k-1)(n-k+1)}{2(k-1)(2k+1)}a_{k-1},\quad (k=2,3, \cdots n).

(a) Chứng minh rằng a_1, a_2, \cdots a_n là các số nguyên.

(b) Chứng minh rằng có đúng một số trong a_1, a_2, \cdots a_n không chia hết cho 2n-1 và đúng một số trong đó không chia hết cho 2n+1 nếu và chỉ nếu 2n-12n+1 là các số nguyên tố. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Hàn Quốc năm 2017”

VMO training 2017 – Part 4


Link part 3: https://nttuan.org/2016/12/02/topic-842/


Nội dung: Số học của các hệ số nhị thức, nghịch đảo modulo và giá p-adic của các số hữu tỷ.

Bài 1. Cho p là số nguyên tố lẻ và q=\dfrac{3p-5}{2}. Đặt

\displaystyle S_q=\frac{1}{2\times 3\times 4}+\frac{1}{5\times 6\times 7}+\cdots+\frac{1}{q(q+1)(q+2)}. Giả sử m,n là các số nguyên nguyên tố cùng nhau sao cho \displaystyle \frac{1}{p}-2S_q=\frac{m}{n}. Chứng minh rằng p chia hết m-n.

Bài 2. Với mỗi số nguyên tố p>3 ta định nghĩa \displaystyle T_p=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}. Chứng minh rằng khi viết T_p dưới dạng phân số tối giản thì tử số của nó chia hết cho p^2.

Bài 3. Cho số nguyên tố lẻ p. Với mỗi số nguyên a, định nghĩa \displaystyle S_a = \sum^{p-1}_{j=1} \frac{a^j}{j}. Giả sử m,n \in \mathbb{Z} thỏa mãn S_3 + S_4 - 3S_2 = \dfrac{m}{n}. Chứng minh rằng p chia hết m.

Bài 4. Cho số nguyên tố p\ge 5. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{p}{k}3^k-2^p+1 chia hết cho p^2. Continue reading “VMO training 2017 – Part 4”

Kỳ thi chọn HSG Quốc gia môn Toán năm 2017 (VMO 2017)


VMO 2017 sẽ diễn ra vào hai ngày 5 và 6/1/2017. Trong topic này tôi sẽ post đề thi và kết quả.

Hôm nay là 3/1/2017, hai hôm nữa tôi sẽ post đề thi ở đây. 😛

ĐỀ THI

vmo-2017-day-1

vmo-2017-day-2

Continue reading “Kỳ thi chọn HSG Quốc gia môn Toán năm 2017 (VMO 2017)”

VMO training 2017 – Part 3


Link part 2: https://nttuan.org/2016/12/01/topic-841/


TEST 2, DAY 2

Bài 5. Cho các số nguyên dương ak. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại số nguyên dương m sao cho ka^m+m chia hết cho n.

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

\forall x,y,z\in\mathbb{R},\quad|x-y|<|x-z|\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|. Continue reading “VMO training 2017 – Part 3”

VMO training 2017 – Part 1


Đây là một số bài toán tôi dùng trong đợt luyện VMO 2017,  gửi các đồng nghiệp tham khảo.

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho 7^a - 3^b chia hết a^4 + b^2.

Bài 2. Cho số nguyên dương k. Chứng minh rằng có vô hạn số chính phương dạng n\cdot 2^k - 7, ở đây n là số nguyên dương.

Bài 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m,n) sao cho \dfrac {n^3+1}{mn-1} là số nguyên.

Bài 4. Cho a,b là các số nguyên dương lẻ sao cho 2ab+1 \mid a^2 + b^2 + 1. Chứng minh a=b.

Continue reading “VMO training 2017 – Part 1”