VMO training 2016 – Part 3


Sau post này mình tạm nghỉ, thi TST xong mình lại tiếp tục chia sẻ nhé các bạn. 🙂

Bài 18. Cho số nguyên tố p>5. Với mỗi số nguyên x ta định nghĩa
f_p(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{(px+k)^2}. Chứng minh rằng với mỗi hai số nguyên dương x,y, khi viết f_p(x)-f_p(y) dưới dạng phân số tối giản thì tử số của nó chia hết cho p^3.
Bài 19. Cho số nguyên dương n và các số nguyên dương a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n thỏa mãn
a_1+a_2+\cdots+a_n=2n,\,\,\, a_n\not =n+1.
a) Chứng minh rằng nếu n chẵn thì tồn tại tập con khác rỗng K của \{1,2,\cdots,n\} sao cho \displaystyle\sum_{i\in K}a_i=n;
b) Chứng minh rằng nếu n lẻ và a_n\not=2 thì kết luận trên vẫn đúng.
Bài 20. Với mỗi số nguyên dương n, xác định tập S_n như sau
S_n = \left \{C_n^n,C_{2n}^n, C_{3n}^n,\cdots,C_{n^2}^n \right \}.
a) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số n sao cho S_n không phải là hệ thặng dư đầy đủ modulo n;
b) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số n sao cho S_n là hệ thặng dư đầy đủ modulo n.
Bài 21. Cho số nguyên dương lẻ n>3. Chứng minh rằng với mỗi x\in [n], ta có thể chia tập [n]\setminus \{x\} thành hai nhóm bằng nhau sao cho tổng các phần tử ở hai nhóm là đồng dư với nhau theo modulo n.
Bài 22. Cho dãy số (v_n)_{n\geq 0} xác định bởi v_0 = 0, v_1 = 1
v_{n+1} = 8 \cdot v_n - v_{n-1},\,\,\forall n = 1,2, ...
Chứng minh rằng dãy trên không chứa các số hạng có dạng 3^{\alpha} \cdot 5^{\beta}\,\,(\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*).
Bài 23. Cho nq là các số nguyên thỏa mãn n \geq 5, 2 \leq q \leq n. Chứng minh rằng q-1 là ước của \left[\dfrac{(n-1)!}{q}\right] .
Bài 24. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương s, tồn tại số nguyên dương n sao cho tổng các chữ số của n bằng ss|n.
Bài 25. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n>1, tồn tại đa thức với hệ số nguyên có bậc bé hơn n sao cho giá trị của nó tại 1,2,\cdots,n là các lũy thừa đôi một khác nhau của 2. Continue reading “VMO training 2016 – Part 3”

Kết quả VMO 2016


Kết quả của đội Hà Nội

ketquavmo2016

File kết quả từ Bộ Giáo dục Ket qua HSGQG 2016

Thông tin dưới đây được lấy từ Fb của thầy Nguyễn Khắc Minh. 🙂

——

VMO (đọc nôm là “vờ mo”; đọc theo kiểu Ăng lê là “vi em âu”) là tên viết tắt bằng tiếng Anh của Kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán lớp 12 THPT.
VMO được tổ chức hằng năm; cơ quan tổ chức kì thi là Bộ GD&ĐT (bàn dân thiên hạ thường gọi tắt là Bộ Dục). VMO tổ chức vào năm x được gọi tắt là VMO x.
Thí sinh của kì thi là các học sinh đang học cấp THPT tại năm tổ chức kì thi. Số lượng học sinh được phép dự thi của mỗi tỉnh/thành phố trực thuộc Trung ương hoặc một đại học/trường đại học có Khối, Trường THPT chuyên (dưới đây được gọi chung là “đơn vị”) do cơ quan tổ chức kì thi ấn định, chiểu theo Quy chế thi chọn HSG QG hiện hành. Học sinh của mỗi đơn vị sẽ dự thi tại Hội đồng coi thi được thành lập tại đơn vị đó (ngoại trừ một vài trường hợp đặc biệt).

VMO 2016 được tổ chức trong 02 ngày, 06 và 07/01/2016. Tham dự VMO 2016 có 464 học sinh thuộc 69 đơn vị; trong đó, có 04 học sinh đang học lớp 10 (em Phạm Nam Khánh, trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterđam, Tp. Hà Nội, em Tạ Anh Dũng, trường THPT chuyên Hùng Vương, tỉnh Phú Thọ, em Huỳnh Bách Khoa và em , trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo, tỉnh Bình Thuận).
Theo đánh giá của dư luận, so với đề thi của các VMO trước, Đề thi của VMO 2016 có một số yếu tố “lạ”. Cá nhân tôi, hi vọng Đề thi VMO 2016 sẽ tạo ra bước ngoặt cần thiết cho việc ra đề thi trong các VMO tới đây.
Tới thời điểm này, việc chấm thi và các thủ tục xét trao giải của VMO 2016 đã được hoàn tất. Điểm số cao nhất của kì thi là 37/40; có 01 thí sinh đạt điểm số này (em Vũ Đức Tài, trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, tỉnh Nam Định).
Chiểu theo Quy chế thi chọn HSG QG THPT hiện hành và căn cứ kết quả chấm thi, Lãnh đạo Bộ GD&ĐT đã quyết định ngưỡng điểm cho mỗi loại giải như sau: Giải Nhất: 32 điểm; Giải Nhì: 27 điểm; Giải Ba: 22 điểm và Giải Khuyến Khích (KK): 18 điểm.
Theo đó, có 232 thí sinh (chiếm 50% tổng số học sinh dự thi) được trao giải; gồm 09 thí sinh được trao Giải Nhất (trong đó, có 06 học sinh lớp 12, 02 học sinh lớp 11 và 01 học sinh lớp 10 (em Phạm Nam Khánh)), 48 thí sinh được trao Giải Nhì, 82 thí sinh được trao Giải Ba (trong đó có 01 học sinh lớp 10 (em Huỳnh Bách Khoa) và 93 thí sinh được trao Giải KK.
Trong số 69 đơn vị có học sinh dự thi, có 13 đơn vị không có học sinh đạt giải.
Dưới đây là thống kê số lượng giải mỗi loại của các đơn vị có học sinh đạt giải: Continue reading “Kết quả VMO 2016”

Kì thi chọn HSG Quốc gia THPT năm 2016 – Môn Toán (VMO 2016)


8:45 AM, 06/01/2016: Trong lúc học sinh thi thì mình ngồi lập topic này, đề sẽ có ở đây lúc chiều nay. 🙂 Continue reading “Kì thi chọn HSG Quốc gia THPT năm 2016 – Môn Toán (VMO 2016)”

Đề chọn đội VMO 2016


Trong topic này tôi sẽ tổng hợp các đề thi chọn đội tuyển các tỉnh tham dự VMO 2016. Mọi người có thể ủng hộ tôi bằng cách tìm ra lỗi hoặc gửi các đề còn thiếu (qua email hoặc post link). Continue reading “Đề chọn đội VMO 2016”