Luyện tập về phương trình bậc hai (2)


Các bạn có thể xem phần trước ở https://nttuan.org/2017/03/07/topic-868/

Bài 16. Cho phương trình x^2-2mx+m^2-m+1=0.

a/. Giải phương trình với m=1;

b/. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1,x_2;

c/. Với điều kiện của b/, hãy tìm m để A=x_1x_2-x_1-x_2 đạt giá trị bé nhất;

d/. Với điều kiện của b/, hãy tìm m để x_1+3x_2=4.

Bài 17. Cho phương trình x^2-2mx-1=0.

a/. Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình có hai nghiệm phân biệt;

b/. Tìm m để hai nghiệm x_1,x_2 của phương trình thỏa mãn x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7.

Bài 18. Cho phương trình x^2+2mx+m-1=0.

a/. Giải phương trình khi m=2;

b/. Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình có hai nghiệm phân biệt;

c/. Tìm m để phương trình có nghiệm dương. Continue reading “Luyện tập về phương trình bậc hai (2)”

Tam giác đồng dạng (2)


Các em xem lại phần đầu ở https://nttuan.org/2015/11/22/topic-710/
Bài 9. Tam giác ABC3\widehat{A}+2\widehat{B}=180^{\circ}. Chứng minh rằng a^2+bc=c^2.
Bài 10. P là một điểm bất kì trên cạnh AC của tam giác ABC. Qua P vẽ các đường thẳng song song với các trung tuyến AK,CL. Các đường thẳng cắt BC,AB tại E,F tương ứng. Chứng minh rằng AK,CL chia EF thành ba phần bằng nhau.
Bài 11. P là một điểm bất kì nằm trên phân giác của một góc cho trước. Một đường thẳng di động qua P cắt các cạnh của góc theo các đoạn a,b. Chứng minh rằng \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} là hằng số.
Bài 12. Về phía ngoài tam giác đều ABC dựng nửa đường tròn đường kính BC. Các điểm K,L chia nửa đường tròn thành ba phần bằng nhau. Chứng minh rằng AK,AL chia BC thành ba phần bằng nhau.
Bài 13. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Trên các cạnh AC,BC lấy M,K tương ứng sao cho BK.AB=AI^2AM.AB=AI^2. Chứng minh rằng M,I,K thẳng hàng. Continue reading “Tam giác đồng dạng (2)”

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10; THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh; năm học 2010-2011; môn Toán chuyên


Bài 1.

Cho biểu thức M=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{7} với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn M;

b)Tính M khi x=3-2\sqrt{2}.

Bài 2.

a)Giải hệ phương trình \begin{cases}(x^2+xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=185\\(x^2-xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=65.\end{cases}

b)Cho phương trình mx^3-(m^2+1)x^2-m^2x+m+1=0(1).

i)Chứng minh x=-1 là một nghiệm của (1);

ii)Tìm m để (1) có ba nghiệm phân biệt.

Bài 3.

Cho \Delta ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ AH vuông góc với BC(H\in BC)BE vuông góc với đường kính AD(E\in AD).

a)Chứng minh HE||DC;

b)Qua trung điểm K của AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại M. Chứng minh \Delta MHE cân.

Bài 4.

Cho -1\leq a,b,c\leq 2 thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh a^2+b^2+c^2\leq 6.

Bài 5.

Cho hình chữ nhật ABCDAB=5cm,BC=2cm. Trên cạnh AB lấy I bất kỳ(I\not = A,B). Kẻ IM vuông góc với AC(M\in AC)IN vuông góc với DC(N\in DC). Tìm vị trí I để AN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \Delta IMN.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2010-2011


Bài 1.

a)So sánh hai số 3\sqrt{5}\sqrt{29};

b)Rút gọn A=\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}+\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}.

Bài 2.

Cho hệ \begin{cases}2x+y=5m-1\\x-2y=2.\end{cases}.

a)Giải hệ với m=1;

b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn x^2-2y^2=1.

Bài 3.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Nếu từng vòi chảy riêng thì thời gian vòi thứ nhất làm đầy bể sẽ ít hơn thời gian vòi thứ hai làm đầy bể là 10 giờ. Hỏi nếu chảy riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?

Bài 4.

Cho (O;R), dây BC cố định(BC<2R) và điểm A di động trên cung lớn BC sao cho \Delta ABC có ba góc nhọn. Các đường cao BD,CE cắt nhau tại H.

a)Chứng minh ADHE nội tiếp;

b)Gỉa sử \widehat{BAC}=60^0, hãy tính khoảng cách từ O đến BC theo R;

c)Chứng minh đường thẳng kẻ qua A vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Chứng minh xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36>0\forall x,y\in\mathbb{R}.