Đề thi chọn HSG Quốc gia của Mỹ năm 2019


Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho hàm số \displaystyle f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* thỏa mãn
\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \underbrace{f(f(\ldots f}_{f(n)}(n)\ldots))=\frac{n^2}{f(f(n))}. Tính f(1000).
Bài 2. Cho tứ giác nội tiếp \displaystyle ABCD thỏa mãn \displaystyle AD^2 + BC^2 = AB^2. Các đường chéo của \displaystyle ABCD cắt nhau tại \displaystyle E. Gọi \displaystyle P là một điểm trên cạnh \displaystyle AB thỏa mãn \displaystyle \angle APD = \angle BPC. Chứng minh \displaystyle PE chia đôi \displaystyle CD.
Bài 3. Cho \displaystyle K là tập tất cả các số nguyên dương không chứa chữ số \displaystyle 7 trong biểu diễn thập phân của nó. Tìm tất cả các đa thức \displaystyle f với hệ số nguyên sao cho \displaystyle f(n)\in K mỗi khi \displaystyle n\in K.

Ngày thứ hai
Bài 4. Cho số tự nhiên n. Có bao nhiêu cách chọn \displaystyle (n+1)^2 tập hợp \displaystyle S_{i,j}\subseteq\{1,2,\ldots,2n\}, với \displaystyle 0\leq i,j\leq n, sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
1) Với mỗi \displaystyle 0\leq i,j\leq n, \displaystyle S_{i,j}\displaystyle i+j phần tử;
2) \displaystyle S_{i,j}\subseteq S_{k,l} mỗi khi \displaystyle 0\leq i\leq k\leq n\displaystyle 0\leq j\leq l\leq n. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Mỹ năm 2019”