China Team Selection Test 2016 (3)


Đây là phần cuối, mời các bạn xem 2 phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/11/topic-771/https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 13. Cho số nguyên n lớn hơn 1, \alpha là số thực thỏa mãn 0<\alpha < 2, a_1,\ldots ,a_n,c_1,\ldots ,c_n là các số nguyên dương. Với y>0, đặt f(y)=\left(\sum_{a_i\le y} c_ia_i^2\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{a_i>y} c_ia_i^{\alpha} \right)^{\frac{1}{\alpha}}. Với số dương x thỏa mãn x\ge f(y) (với y nào đấy), chứng minh f(x)\le 8^{\frac{1}{\alpha}}\cdot x.

Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ, những điểm với cả hai tọa độ là số hữu tỷ sẽ được gọi là các điểm hữu tỷ. Với mỗi số nguyên dương n, liệu có thể dùng n màu để tô tất cả các điểm hữu tỷ (mỗi điểm tô bởi 1 màu) sao cho mỗi đoạn với các đầu mút là các điểm hữu tỷ chứa các điểm hữu tỷ mang mỗi màu?

Bài 15. Cho tứ giác nội tiếp ABCDAB>BC, AD>DC, I,J là tâm nội tiếp của \triangle ABC,\triangle ADC tương ứng. Đường tròn đường kính AC cắt đoạn IB tại X, và phần kéo dài của JD tại Y. Chứng minh nếu B,I,J,D cùng nằm trên một đường tròn thì XY đối xứng với nhau qua AC. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (3)”

Tứ giác nội tiếp (1)


Bài 1. Xét hình bình hành ABCD với góc tại đỉnh A nhọn. Trên tia ABCB lấy các điểm HK tương ứng sao cho CH=CBAK=AB. Chứng minh rằng
a) DH=DK;
b) \Delta DKH\sim \Delta ABK.
Bài 2. Cho tam giác ABC với AH là đường cao của nó. Một đường thẳng l bất kỳ đi qua A. Gọi B_1,C_1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C lên l. Chứng minh rằng \Delta ABC\sim \Delta HB_1C_1.
Bài 3. Tam giác ABC vuông tại ABC= 2AB. Lấy D, E nằm trên AC, AB sao cho \widehat{ABD} = \dfrac{1}{3}\widehat{ABC}\widehat{ACE} = \dfrac{1}{3} \widehat{ACB}. F là giao điểm của BD, CE. H, K là điểm đối xứng của F qua AC, BC.
a) Chứng minh H, D, K thẳng hàng;
b) Chứng minh tam giác DEF cân.
Bài 4. Gọi AB là một dây cung cố định cùa đường tròn (O). P là điểm di động trên dây cung AB nhưng không trùng với hai đầu mút. Vẽ đường tròn (C) đi qua A, P tiếp xúc trong với (O) và đường tròn (D) đi qua B, P tiếp xúc trong với (O). Lấy N là giao điểm thứ hai của (C), (D).
a) Chứng minh rằng \triangle ANB \backsim \triangle CPD. Từ đó hãy chỉ ra N di động trên đường nào;
b) Chứng minh rằng NP luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho \triangle ABC\widehat{BAC}=90^{\circ} \; (AB<AC). Đường tròn (O;r) đường kính AB và đường tròn (P;R) đường kính AC cắt nhau ở DA.
a) Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC,AM cắt (O) tại N, cắt BC tại E. Chứng minh \triangle ABE cân và các điểm O,N,P thẳng hàng;
b) Dựng đường kính NQ của (O). Chứng minh Q,D,M thẳng hàng;
c) Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh PK \perp OK.
Bài 6. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d nằm ngoài đường tròn. Gọi S là hình chiếu vuông góc của O lên d. Vẽ các cát tuyến SAB, SEF. AF, BE lần lượt cắt d tại C, D. Chứng minh S là trung điểm của CD.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH và đường phân giác BE của tam giác ABC \; (H \in BC, E \in AC). Đường thẳng qua A vuông góc với BE cắt BC,BE lần lượt tại M,N.
a) Chứng minh tứ giác ANHB nội tiếp một đường tròn. Gọi đường tròn đó là (O);
b) Đường thẳng CN cắt (O) tại T (T\neq N). Chứng minh rằng : CH \cdot BC=CN \cdot CT;
c) Gọi I là giao điểm của ONAH. Chứng minh rằng : \dfrac{1}{4HI^{2}}=\dfrac{1}{AB^{2}}+\dfrac{1}{AC^{2}}.
Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có đường cao AD. Gọi E là hình chiếu của B trên AO, K là trung điểm của BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Chứng minh rằng IK là đường trung trực của DE.