Turkey TST 2017 (3)


Các bạn có thể xem ngày thứ hai ở đây.

Ngày thứ ba
Bài 7. Cho số thực \displaystyle a. Tìm số hàm \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
\displaystyle f(xy+f(y))=f(x)y+a,\quad \forall x, y\in \mathbb{R}.
Bài 8. Cho tam giác \displaystyle ABC với các phân giác trong \displaystyle BD\displaystyle CE. Gọi \displaystyle I_{c} là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh \displaystyle C\displaystyle F là trung điểm của \displaystyle BI_{c}. Chứng minh rằng nếu \displaystyle CF^2=CE^2+DF^2 thì tam giác \displaystyle ABC là một tam giác đều. Continue reading “Turkey TST 2017 (3)”

Turkey TST 2017 (2)


Các bạn có thể xem ngày đầu ở đây.

Ngày thứ hai

Bài 4. Trong phòng có n sinh viên tuổi đôi một khác nhau. Biết rằng mỗi sinh viên A bắt tay với ít nhất một sinh viên mà sinh viên này không bắt tay với ai khác trẻ hơn A. Tìm tất cả n để điều này có thể xảy ra.

Bài 5. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng a^3b+b^3c+c^3a+9\geq 4(ab+bc+ca). Continue reading “Turkey TST 2017 (2)”

Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 3


Các bạn có thể xem phần 2 ở link https://nttuan.org/2017/05/17/iran-tst-2017-2/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên n>1. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n-1 \ge m \ge \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên thỏa mãn a_m>0:

\displaystyle\frac{a_{m}}{m+1}+\frac{a_{m+1}}{m+2}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{n}=\frac{1}{\textrm{lcm}\left ( 1,2, \cdots , n \right )}.

Bài 2. Cho P là một điểm nằm trong tứ giác ABCD sao cho

\angle BPC=2\angle BAC \ \ ,\ \ \angle PCA = \angle PAD \ \ ,\ \ \angle PDA=\angle PAC.

Chứng minh rằng \angle PBD= \left | \angle BCA - \angle PCA \right |.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm f: \mathbb {R}^+ \times \mathbb {R}^+ \to \mathbb {R}^+ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau với mỗi ba số thực dương x,y,z:

1) f\left ( f(x,y),z \right )=x^2y^2f(x,z).

2) f\left ( x,1+f(x,y) \right ) \ge x^2 + xyf(x,x).

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho 6 điểm nằm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng trong 4 điểm bất kỳ trong các điểm đã cho, tồn tại một điểm có phương tích đối với đường tròn đi qua ba điểm còn lại bằng một hằng số k. Chứng minh rằng cả 6 điểm đã cho cùng nằm trên một đường tròn. Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 3”

Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 1


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho a,b,c,d là các số thực dương với a+b+c+d=2. Chứng minh rằng

\displaystyle \frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right ).

Bài 2.13 học sinh tham gia kỳ thi chọn đội IMO của một quốc gia. Họ đã làm 6 bài kiểm tra và điểm đã được công bố. Giả sử không có hai học sinh có điểm bằng nhau ở một bài kiểm tra. Để chọn ra đội tuyển, hội đồng quyết định chọn một hoán vị của 6 bài kiểm tra và bắt đầu từ bài kiểm tra đầu tiên, ai có điểm cao nhất trong bài này thì được chọn,… Hỏi theo cách này, mọi học sinh đều có thể được chọn? (Đội IMO sẽ gồm 6 học sinh).

Bài 3. Cho tam giác ABC với I_a là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. Gọi \omega là một đường tròn bất kỳ qua A,I_a và cắt phần kéo dài của các cạnh AB,AC (kéo dài từ B,C) tại X,Y tương ứng. Gọi S,T là các điểm trên các đoạn I_aB,I_aC tương ứng sao cho \angle AXI_a=\angle BTI_a\angle AYI_a=\angle CSI_a. Các đường thẳng BT,CS cắt nhau tại K. Các đường thẳng KI_a,TS cắt nhau tại Z. Chứng minh rằng X,Y,Z thẳng hàng.

Ngày thứ hai

Bài 4. Gọi p_i là số nguyên tố thứ i. Cho n_1<n_2<\cdots là dãy các số nguyên dương sao cho với mỗi i=1,2,3,\cdots, phương trình x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i} có nghiệm. Liệu các phương trình này có thể có nghiệm chung không? Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 1”

Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 2


Các bạn có thể xem phần 1 tại địa chỉ https://nttuan.org/2017/04/06/topic-878/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi D_n là tập tất cả các ước của nf(n) là số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho các phần tử của D_n đôi một khác nhau theo modulo m. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n \geq N, ta có f(n) \leq n^{0.01}.

Bài 2. 2017 kỹ sư tham gia một hội thảo. Nếu hai kỹ sư nào đó thảo luận với nhau thì họ chỉ dùng tiếng Anh hoặc tiếng Trung và không có hai kỹ sư nào lại thảo luận với nhau hơn một lần. Biết rằng trong mỗi bốn kỹ sư, có một số chẵn cuộc thảo luận giữa hai người trong họ và trong những cuộc thảo luận này các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:

a) Ít nhất một cuộc thảo luận bằng tiếng Anh;

b) Hoặc không có cuộc thảo luận nào bằng tiếng Anh hoặc số cuộc thảo luận bằng tiếng Anh lớn hơn hoặc bằng số cuộc thảo luận bằng tiếng Trung.

Chứng minh rằng tồn tại 673 kỹ sư sao cho mỗi hai người trong họ đã thảo luận với nhau bằng tiếng Trung.

Bài 3. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng l. Biết l cắt các đường thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD lần lượt tại X, X', Y, Y', Z, Z' và sáu điểm này nằm trên l theo thứ tự X, Y, Z, X', Y', Z'. Chứng minh rằng các đường tròn với đường kính XX', YY', ZZ' đồng trục.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho số nguyên n>1. Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn: với mọi tập \{a,b\}\subset \{1,2,\cdots,2n-1\}, tồn tại các số tự nhiên x,y không đồng thời bằng 0 sao cho 2n|ax+byx+y\leq m. Continue reading “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 2”

Danh sách đội Việt Nam tham dự IMO 2017


Theo fb của thầy Nguyễn Khắc Minh.

1. Lê Quang Dũng, THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá.
2. Phạm Nam Khánh, THPT chuyên Hà Nội – Amsterđam, Tp. Hà Nội.
3. Nguyễn Cảnh Hoàng, THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An.
4. Phan Nhật Duy, THPT chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh.
5. Hoàng Hữu Quốc Huy, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa – Vũng Tàu.
6. Đỗ Văn Quyết, THPT chuyên Vĩnh Phúc, Vĩnh Phúc.

(Danh sách trên được liệt kê theo thứ tự điểm từ cao xuống thấp)


Các bạn có thể xem đề chọn đội IMO 2017 ở link https://nttuan.org/2017/03/27/topic-874/

Vietnam TST 2017


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho 44 cái lỗ trên một cái rãnh là một đường thẳng và 2017 con kiến. Mỗi con kiến sẽ chui lên 1 cái lỗ và đi đến một cái lỗ khác với vận tốc không đổi rồi chui xuống đó. Gọi T là tập các thời điểm mà con kiến chui lên hoặc chui xuống. Biết rằng vận tốc của các con kiến đôi một khác nhau và |T| \le 45. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai con kiến không gặp nhau.

Bài 2. Với mỗi số nguyên dương n, đặt x_n = C_{2n}^n.

a) Chứng minh rằng nếu \dfrac{2017^k}{2} < n < 2017^k với k là số nguyên dương nào đó thì x_n là bội của 2017. b) Tìm tất cả số nguyên dương h > 1 để tồn tại các số nguyên dương N,T sao cho với mọi n>N thì x_n là dãy số tuần hoàn theo modulo h với chu kỳ T.

Bài 3. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I)(I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi I_b, I_c lần lượt là các tâm đường tròn bàng tiếp góc B, C của tam giác ABC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm I_bE, I_cF. Giả sử (PAC) cắt AB tại R(QAB) cắt AC tại S.

a) Chứng minh rằng PR, QS, AI đồng quy.

b) DE, DF lần lượt cắt I_bI_c tại K, J. EJ cắt FK tại MPE, QF cắt (PAC),(QAB) lần lượt tại X,Y. Chứng minh rằng BY, CX, AM đồng quy.

Continue reading “Vietnam TST 2017”

Tính bất khả quy của các đa thức chia đường tròn


Các đa thức chia đường tròn là bất khả quy trên \mathbb{Q}. Bài viết sau của Steven H. Weintraub giới thiệu một số chứng minh cổ điển của kết quả này.

Các kết quả khác về các đa thức này có ở link https://nttuan.org/2017/02/09/topic-861/

Continue reading “Tính bất khả quy của các đa thức chia đường tròn”

Đa thức chia đường tròn và dạng yếu của định lí Dirichlet


Trong bài này, qua các bài toán tôi sẽ giới thiệu các tính chất của các đa thức chia đường tròn, từ các tính chất đó tôi giới thiệu dạng yếu của định lí Dirichlet. Phần cuối của bài viết là một số bài toán thi chọn học sinh giỏi liên quan. Bạn đọc có thể xem thêm về định lí Dirichlet tại https://nttuan.org/2016/02/11/topic-746/.

Định nghĩa. Cho số nguyên dương n. Đa thức chia đường tròn thứ n, ký hiệu \Phi_n, là đa thức monic có các nghiệm là các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, nghĩa là \displaystyle \Phi_n(x)=\prod_{\omega_n\in U_n}(x-\omega_n), ở đây U_n là tập tất cả các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.

|U_n|=\varphi (n)\,\,\forall n\geq 1 nên \deg\Phi_n=\varphi (n)\,\,\forall n\geq 1.

Ví dụ. 10 đa thức chia đường tròn đầu tiên là

\Phi_1(x)=x-1,\,\, \Phi_2(x)=x+1,\,\, \Phi_3(x)=x^2+x+1,\,\, \Phi_4(x)=x^2+1,

\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\,\, \Phi_6(x)=x^2-x+1,\,\,\Phi_7(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,

\Phi_8(x)=x^4+1,\,\, \Phi_9(x)=x^6+x^3+1,\,\,\Phi_{10}(x)=x^4-x^3+x^2-x+1.

Bài 1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có \displaystyle x^n-1=\prod_{d|n}\Phi_d(x). Từ đó suy ra \displaystyle n=\sum_{d|n}\varphi (d).

Bài 2. Chứng minh \Phi_n(x)\in\mathbb{Z}[x]\,\,\forall n\geq 1.

Bài 3. Chứng minh rằng nếu an là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì \Phi_n(x^a)=\prod_{d|a}\Phi_{nd}(x).

Bài 4. Cho số nguyên dương n và số nguyên tố p. Chứng minh rằng

\displaystyle \Phi_{pn}(x)=\begin{cases}\Phi_n(x^p),\quad p|n\\ \frac{\Phi_n(x^p)}{\Phi_n(x)},\quad p\not|n.\end{cases}

Bài 5. Cho số nguyên dương n, d<n là một ước dương của n, và a là một số nguyên. Giả sử p là một ước nguyên tố chung của \Phi_n(a)\Phi_d(a). Chứng minh rằng p|n.

Bài 6. Cho mn là các số nguyên dương. Giả sử rằng tồn tại số nguyên a sao cho \gcd (\Phi_m(a),\Phi_n(a))>1. Chứng minh rằng \dfrac{m}{n} là lũy thừa nguyên của một số nguyên tố.

Bài 7. Cho số nguyên dương n và số nguyên a. Chứng minh rằng mỗi ước nguyên tố p của \Phi_n(a) phải thỏa mãn p|n hoặc p\equiv 1\pmod{n}.

Bài 8. (Dạng yếu của định lý Dirichlet) Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố p thỏa mãn p\equiv 1\pmod{n}. Continue reading “Đa thức chia đường tròn và dạng yếu của định lí Dirichlet”