Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)


Bài 1. (2 điểm) Cho hàm số y=x^4-2mx^2+2m-3. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Bài 2. (5 điểm)
1) Giải phương trình \sqrt{5x-1}+\sqrt[3]{9-x}=2x^2+3x-1.
2) Giải hệ phương trình \begin{cases} x^3(3y-2)=-8 \\ x(y^3+2)=-6\end{cases}
Bài 3. (4 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=\sqrt{x^2+3x+9}+\sqrt{x^2-3x+9};
2) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a+b+ab=3. Chứng minh rằng \dfrac{4a}{b+1}+\dfrac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab} \ge 4. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)”

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2006-2007


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

A=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}\right):(\sqrt{x}-1), với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn A;

b)Tính A khi x=3-2\sqrt{2}.

Bài 2.

Cho hai hàm số bậc nhất y=-2x+3(1)y=0,5x-2(2).

a)Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng hệ trục Oxy và tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox, làm tròn đến phút;

b)Gọi giao điểm của các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox theo thứ tự là AB, giao điểm của hai đường thẳng đó là C. Tính diện tích tam giác ABC, đơn vị trên các trục là xentimét.

Bài 3.

Xét phương trình x^4-2(m^2+2)x^2+5m^2+3=0(1).

a)Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình (1) luôn có bốn nghiệm phân biệt;

b)Gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Tính theo m giá trị của biểu thức

M=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+\dfrac{1}{x_3^2}+\dfrac{1}{x_4^2}.

Bài 4.

Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC bằng 45^0, nội tiếp (O;R). Tia AO cắt (O;R) tại D khác A. Lấy điểm M trên cung nhỏ AB khác A,B. Dây MD cắt dây BC tại I. Trên tia đối của tia MC lấy E để ME=MB. Đường tròn tâm D bán kính DC cắt MC tại điểm thứ hai K.

a)Chứng minh rằng BE||DMDCKI nội tiếp;

b)Không dùng máy tính hay bảng lượng giác, hãy tính theo R thể tích của hình do tam giác ACD quay một vòng quanh cạnh AC sinh ra.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2008-2009


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức A=\dfrac{3(x+\sqrt{x}-1)}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn biểu thức A;

b)Tìm các giá trị nguyên của x để A>3.

Bài 2.

a)Giải hệ phương trình \begin{cases}y-5|x-1|-3=0\\ 2x-|y|+1=0.\end{cases}

b)Tìm m để phương trình x^4-2mx^2+m^2-25=0 có bốn nghiệm phân biệt. Khi đó, gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Chứng minh rằng biểu thức

\dfrac{1}{x_1x_2x_3}+\dfrac{1}{x_2x_3x_4}+\dfrac{1}{x_3x_4x_1}+\dfrac{1}{x_4x_1x_2} có giá trị không phụ thuộc m.

Bài 3.

Trong Oxy cho ba đường thẳng (d_1):3x+4y-4=0; (d_2):y=x+1(d_3):5x+2y-16=0. Ba đường thẳng này tạo thành một tam giác, tính toạ độ các đỉnh của tam giác này và diện tích của nó(đơn vị đo trên các trục là xentimét.)

Bài 4.

Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC(M\not =B). Tia AM cắt tia DC tại N. Chứng minh rằng giá trị biểu thức \dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2} không phụ thuộc vào cách chọn M trên cạnh BC.

Bài 5.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O;R). Trên cung nhỏ BC lấy M tuỳ ý khác BC. Kẻ MI vuông góc với ABMH vuông góc với BC. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng IHAC.

a)Chứng minh rằng MK vuông góc với AC;

b)Kẻ AE vuông góc với BC. Tính theo R giá trị của \dfrac{AB\cdot AC}{AE};

c)Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để IK lớn nhất.