Orthocenter (1)


Tôi ghi ra đây một số kết quả về trực tâm của tam giác. Bạn nào biết kết quả khác thì đóng góp nhé!

Kết quả 1. Cho tam giác ABC không vuông với trực tâm H và tâm ngoại tiếp O. Khi đó \widehat{BAO}=\widehat{CAH},\quad \widehat{CBO}=\widehat{ABH},\quad \widehat{ACO}=\widehat{BCH}.

Kết quả 2. Cho tam giác ABC với trực tâm H và đường tròn ngoại tiếp (O). Nếu H_1 là điểm đối xứng với H qua BC thì H_1\in (O).

Kết quả 3. Cho tam giác ABC với trực tâm H và đường tròn ngoại tiếp (O). Nếu H_2 là điểm đối xứng với H qua trung điểm của BC thì H_2\in (O).

Kết quả 4. Cho tam giác ABC với trực tâm H và đường tròn ngoại tiếp (O;R). Khi đó HA^2=4R^2-BC^2,\quad HB^2=4R^2-CA^2,\quad HC^2=4R^2-AB^2.

Kết quả 5. Cho tam giác ABC với trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Nếu A_1,B_1,C_1 lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB thì AH=2OA_1,\quad BH=2OB_1,\quad CH=2OC_1.

Kết quả 6. Cho tam giác không vuông ABC với trực tâm H và các đường cao AA_1,BB_1,CC_1. Khi đó H, A,B,C là tâm đường tròn nội tiếp hoặc bằng tiếp (đỉnh thích hợp) của tam giác A_1B_1C_1.

Kết quả 7. Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Nếu AM,AN là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC (M, N là các tiếp điểm) thì M, HN thẳng hàng.

Turkey Team Selection Test 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC, điểm P được lấy trên đường cao qua A. Các đường thẳng BPCP cắt các cạnh ACAB tại DE tương ứng. Các tiếp tuyến vẽ từ DE của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC tiếp xúc với nó tại KL tương ứng (các điểm này nằm trong tam giác ABC.) Đường thẳng KD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC lần thứ hai tại M, đường thẳng LE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ALB lần thứ hai tại N. Chứng minh rằng

\dfrac{KD}{MD}=\dfrac{LE}{NE} \Leftrightarrow P là trực tâm của tam giác ABC.

Bài 2. Trong một lớp có 23 học sinh, mỗi cặp học sinh đã xem một bộ phim cùng nhau. Tập các bộ phim mà một học sinh đã xem được gọi là tuyển tập phim của học sinh đó. Biết mỗi học sinh đã xem mỗi bộ phim ít nhất một lần, tìm số nhỏ nhất các tuyển tập phim khác nhau.

Bài 3. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2 \le 3. Chứng minh rằng (a+b+c)(a+b+c-abc)\ge2(a^2b+b^2c+c^2a).

Ngày thứ hai

Bài 4. Dãy các số thực a_0, a_1, \dots thỏa mãn

\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{m}a_n\cdot(-1)^n\cdot\dbinom{m}{n}=0

với mỗi số nguyên dương đủ lớn m. Chứng minh rằng tồn tại đa thức P để a_n=P(n) với mỗi n\ge 0.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* sao cho với mỗi m,n \in \mathbb{N}^* ta có f(mn)=f(m)f(n)m+n \mid f(m)+f(n).

Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A với D là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua D cắt AB tại K, AC tại L. Lấy E trên cạnh BC khác D, P trên AE sao cho \angle KPL=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle KALE nằm giữa AP. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PDE cắt PK lần thứ hai tại X, PL lần thứ hai tại Y. DX cắt AB tại M, DY cắt AC tại N. Chứng minh rằng bốn điểm P,M,AN cùng nằm trên một đường tròn. Continue reading “Turkey Team Selection Test 2016”

Final Korean Mathematical Olympiad 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E tương ứng là chân các đường cao qua B,C của tam giác. Gọi S,T lần lượt là các điểm đối xứng với E qua AC, BC. Đường tròn ngoại tiếp của \triangle CST cắt lại AC tại X (\not= C). Ký hiệu tâm của đường tròn ngoại tiếp \triangle CSTO. Chứng minh XO \perp DE.

Bài 2. Cho hai số nguyên n, k thỏa mãn n \ge 2k \ge \dfrac{5}{2}n-1. Chứng minh rằng với mỗi k điểm lưới với tọa độ (x;y) thỏa mãn x,y\in [n], tồn tại một đường tròn đi qua ít nhất 4 trong chúng.

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỷ x,y ta luôn có x-\dfrac{1}{x}+y-\dfrac{1}{y}\not=4. Continue reading “Final Korean Mathematical Olympiad 2016”