Toàn ánh


Bài 1. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn
f\left(f(x)+y\right)=2x+f\left(f(y)-x\right)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.
Bài 2. Tìm tất cả các toàn ánh f:(0,+\infty) \to (0,+\infty) sao cho 2x f(f(x)) = f(x)(x+f(f(x))) với mỗi x>0.
Bài 3. Cho hàm số f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{Z} xác định bởi f(x)=[x{\cdot }\{ x\}]\,\,\forall x\in\mathbb{R}.
1) Chứng minh f là toàn ánh;
2) Tìm nghiệm của phương trình [ x[x] ]=[x{\cdot }\{ x\}].
Bài 4. Tìm tất cả các toàn ánh f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho với mỗi số nguyên dương ab, đúng một trong hai đẳng thức sau là đúng
f(a)=f(b),\,\, f(a+b)=\min\{f(a),f(b)\}. Continue reading “Toàn ánh”

Dùng ánh xạ trong các bài toán Tổ hợp


Để đếm số phần tử của một tập hữu hạn A, ta tìm một tập hữu hạn B có cùng số phần tử như A nhưng dễ đếm hơn.

Nguyên lý ánh xạ. Cho AB là các tập hữu hạn khác rỗng và f:A\to B là một ánh xạ. Khi đó

a)Nếu f là đơn ánh thì |A|\leq |B|;

b)Nếu f là toàn ánh thì |A|\geq |B|;

c)Nếu f là song ánh thì |A|=|B|.

Continue reading “Dùng ánh xạ trong các bài toán Tổ hợp”