Tính rời rạc của tập số nguyên (2)


Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2016/12/15/topic-845/

Bài 8. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=2.

Bài 9. Cho x,yn là các số nguyên dương thỏa mãn \dfrac{xy}{x+y}>n. Chứng minh rằng \dfrac{xy}{x+y}\geq n+\dfrac{1}{n^2+2n+2}.

Bài 10. Cho a,bc là các số nguyên dương thỏa mãn ab chia hết c(c^{2}-c+1)a+b chia hết cho c^{2}+1. Chứng minh rằng \{a,b\}=\{c,c^{2}-c+1\}.

Bài 11. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình

1/. 3(xy+yz+zx)=4xyz;

2/. xy+yz+zx-xyz=2;

3/. (x+y)^2+3x+y+1=z^2;

4/. x^2+y^2+z^2+w^2=3(x+y+z+w).

Bài 12. Tìm nghiệm nguyên của phương trình (x+1)^4-(x-1)^4=y^3.

Bài 13. Cho các số nguyên a\in\{3,4,5\}, b\in\{4,5,\cdots,12\}c\in\{1,2,\cdots,8\}. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

x^6+ax^4+bx^2+c=y^3.

Continue reading “Tính rời rạc của tập số nguyên (2)”

IMO training 2016 (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2016. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho a,bc là các số nguyên dương thỏa mãn ab chia hết c(c^{2}-c+1)a+b chia hết cho c^{2}+1. Chứng minh rằng \{a,b\}=\{c,c^{2}-c+1\}.

Bài 2. Cho ab là hai số hữu tỷ dương khác nhau sao cho với vô hạn số nguyên dương n, số a^n-b^n là số nguyên. Chứng minh rằng ab là các số nguyên.

Bài 3. Cho số nguyên n\ge 2. Chứng minh rằng nếu k^2+k+n là số nguyên tố với mỗi số nguyên k thỏa mãn 0\le k\le\sqrt{\dfrac{n}{3}} thì nó cũng là số nguyên tố với mỗi số nguyên k thỏa mãn 0\le k\le n-2.

Bài 4. Liệu có tồn tại hay không một cấp số cộng tăng gồm 40 số hạng sao cho mỗi số hạng của nó có dạng 2^k+3^l\,\, (k,l\in\mathbb{N})?

Bài 5. Cho b là một số nguyên lớn hơn 5. Với mỗi số nguyên dương n, xét số x_n = \underbrace{11\cdots1}_{n - 1}\underbrace{22\cdots 2}_{n}5, trong cơ số b. Chứng minh rằng tính chất sau thỏa mãn khi và chỉ khi b=10: Tồn tại số nguyên dương M sao cho với mỗi số nguyên n>M, số x_n là một số chính phương. Continue reading “IMO training 2016 (1)”