25/01/2016-Bất đẳng thức


Bài 1. Cho các số thực dương a,b,c và $d$ thỏa mãn a+b+c+d=1. Chứng minh rằng
6(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq a^2+b^2+c^2+d^2+\dfrac{1}{8}.
Bài 2. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8.

Bài 3. Cho các số thực a,bc thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}\leq\frac{9}{10}.
Bài 4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2.
Bài 5. Cho các số thực không âm a,bc thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 1.
Bài 6. Cho a,bc là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\geq 4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right).
Bài 7. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng
\displaystyle\frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{(c+a-b)^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{(a+b-c)^2}{c^2+(a+b)^2}\geq \frac{3}{5}. Continue reading “25/01/2016-Bất đẳng thức”

Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2014 – 2015)


Bài 1. (5 điểm) Cho (C):y=\dfrac{2x-1}{x+1}.
1) Xét một điểm M trên (C). Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A,B. Chứng minh rằng diện tích tam giác AIB không phụ thuộc M (ở đây I là giao của hai tiệm cận);
2) Tìm các cặp tiếp tuyến song song của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng lớn nhất. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2014 – 2015)”

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2007-2008


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Rút gọn các biểu thức

a)A=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{5}-2};

b)B=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{7})^2}.

Bài 2.

Cho phương trình x^2-6x+m+1=0.

a)Tìm m để phương trình có nghiệm x=2;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=26.

Bài 3.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 300m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm đi 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi.

Bài 4.

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng (d) cố định không giao nhau. Từ điểm M thuộc (d) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn.

a)Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB thuộc (O;R);

b)Biết MA=R\sqrt{3}, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến MA,MB và cung nhỏ AB;

c)Chứng minh rằng khi M di động trên (d) thì AB luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Chứng minh rằng số \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} là bình phương của một số nguyên.