Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (1)


Bài 1. (A-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AD; H là giao điểm của CN,DM. Biết SH vuông góc với (ABCD)SH=a\sqrt{3}. Tính thể tích S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DMSC theo a.
Đáp số: \dfrac{5\sqrt{3}a^3}{24}, \dfrac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}.
Bài 2. (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2}. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM,B'C.
Đáp số: \dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3,\dfrac{a\sqrt{7}}{7}.
Bài 3. (B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN,AC.
Đáp số: \dfrac{a\sqrt{2}}{4}.

Continue reading “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (1)”

Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)


Bài 1. (2 điểm) Cho hàm số y=x^4-2mx^2+2m-3. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Bài 2. (5 điểm)
1) Giải phương trình \sqrt{5x-1}+\sqrt[3]{9-x}=2x^2+3x-1.
2) Giải hệ phương trình \begin{cases} x^3(3y-2)=-8 \\ x(y^3+2)=-6\end{cases}
Bài 3. (4 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=\sqrt{x^2+3x+9}+\sqrt{x^2-3x+9};
2) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a+b+ab=3. Chứng minh rằng \dfrac{4a}{b+1}+\dfrac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab} \ge 4. Continue reading “Đề thi chọn HSG lớp 12 của Hà Nội (môn Toán, năm học 2012 – 2013)”

Đề thi thử Đại học môn Toán, các khối A,B và D, lần 2, trường THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh, năm 2010


Đây là đề thi thử Đại học môn Toán của THPT chuyên Hạ Long, lần 2.

Khối A và B

Khối D

Đề thi thử Đại học lần 3, năm 2010, môn Toán, chuyên Lý KHTN Hà Nội


Đây là đề thi thử lần 3, năm 2010 của khối chuyên Lý, KHTN HN.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2006-2007


Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

Cho biểu thức

A=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}\right):(\sqrt{x}-1), với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn A;

b)Tính A khi x=3-2\sqrt{2}.

Bài 2.

Cho hai hàm số bậc nhất y=-2x+3(1)y=0,5x-2(2).

a)Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng hệ trục Oxy và tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox, làm tròn đến phút;

b)Gọi giao điểm của các đường thẳng có phương trình (1)(2) với trục Ox theo thứ tự là AB, giao điểm của hai đường thẳng đó là C. Tính diện tích tam giác ABC, đơn vị trên các trục là xentimét.

Bài 3.

Xét phương trình x^4-2(m^2+2)x^2+5m^2+3=0(1).

a)Chứng minh rằng với mỗi m, phương trình (1) luôn có bốn nghiệm phân biệt;

b)Gọi các nghiệm là x_1,x_2,x_3,x_4. Tính theo m giá trị của biểu thức

M=\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+\dfrac{1}{x_3^2}+\dfrac{1}{x_4^2}.

Bài 4.

Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC bằng 45^0, nội tiếp (O;R). Tia AO cắt (O;R) tại D khác A. Lấy điểm M trên cung nhỏ AB khác A,B. Dây MD cắt dây BC tại I. Trên tia đối của tia MC lấy E để ME=MB. Đường tròn tâm D bán kính DC cắt MC tại điểm thứ hai K.

a)Chứng minh rằng BE||DMDCKI nội tiếp;

b)Không dùng máy tính hay bảng lượng giác, hãy tính theo R thể tích của hình do tam giác ACD quay một vòng quanh cạnh AC sinh ra.