Luyện tập Hình học-17/02/2016


Bài 1. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn \omega. Một đường tròn với dây BC cắt các đoạn ABAC tại các điểm thứ hai SR, tương ứng. Các đoạn BRCS cắt nhau tại L, và các tia LRLS cắt \omega tại DE, tương ứng. Phân giác trong của \angle BDE cắt ER tại K. Chứng minh rằng nếu BE = BR thì \angle ELK = \tfrac{1}{2} \angle BCD.
Bài 2. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh ABAC tại DE tương ứng, và O tâm của (BCI). Chứng minh \angle ODB = \angle OEC.
Bài 3. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Gamma, và D,E,F là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với BC, AC, AB tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \triangle AEF, \triangle BFD, và \triangle CDE cắt \Gamma tại các điểm thứ hai X,Y,Z tương ứng. Chứng minh các đường thẳng qua A,B,C vuông góc với AX,BY,CZ tương ứng đồng quy. Continue reading “Luyện tập Hình học-17/02/2016”

Ba cạnh của tam giác


Các kết quả cơ bản
Kết quả 1. Ba số thực a,bc là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi \begin{cases}a<b+c\\ b<c+a\\ c<a+b.\end{cases}
Kết quả 2. Nếu a,bc là độ dài các cạnh của một tam giác thì \begin{cases}a<b+c\\ b<c+a\\ c<a+b.\end{cases}\begin{cases}a>|b-c|\\ b>|c-a|\\ c>|a-b|.\end{cases}
Kết quả 3. Với mỗi ba điểm A,BC ta có
1/. AB+BC\geq CA;
2/. |AB-BC|\leq CA.
Dấu “=” xảy ra ở 1/. khi và chỉ khi B nằm giữa AC, xảy ra ở 2/. khi và chỉ khi ba điểm đó thẳng hàng và B nằm ngoài đoạn AC hoặc trùng với A,C.

Continue reading “Ba cạnh của tam giác”

Pompeiu’s theorem


Định lí Pompeiu. Cho tam giác đều ABC và một điểm M nằm trên mặt phẳng chứa tam giác. Khi đó tồn tại một tam giác (có thể suy biến) với độ dài ba cạnh bằng MA,MBMC.

Trong post này tôi sẽ giới thiệu vài tài liệu liên quan đến kết quả trên.

1) Wiki

2) Cut the knot

3) Wolfram Mathworld

4) Bài của 2 bác người Rumani,  bài này có công thức diện tích của tam giác nói đến trong định lí. Nếu link hỏng có thể tải ở đây.

Continue reading “Pompeiu’s theorem”

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 2005-2006


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho biểu thức P(x)=\dfrac{2\sqrt{x}-3}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}.

a)Rút gọn P(x);

b)Giải phương trình P(x)=\dfrac{4}{x-5}.

Bài 2.

Xét phương trình mx^2+(2m-1)x+m-2=0.

a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2-x_1x_2=4;

b)Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm hữu tỷ.

Bài 3.

Hai xe máy đi từ A đến B. Xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai nửa giờ với vận tốc nhỏ hơn vận tốc xe thứ hai 5km một giờ. Biết rằng hai xe đến B cùng một lúc và quãng đường AB dài 140km. Tính vận tốc mỗi xe.

Bài 4.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R, lấy điểm C trên đoạn AO sao cho C khác A,O. Kẻ hai tia AxBy vuông góc với AB và ở cùng một phía với nửa đường tròn. Điểm M di động trên nửa đường tròn nhưng khác AB. Một đường thẳng vuông góc với CM tại M cắt AxP, cắt ByQ; AM cắt CPEBM cắt CQF.

a)Chứng minh bốn điểm M,E,C,F nằm trên một đường tròn;

b)Chứng minh EF||AB;

c)Khi C là trung điểm của AO, tìm vị trí của M trên nửa đường tròn để APQB có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị này.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chung, năm học 2006-2007


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

a)Tính giá trị của biểu thức A=\dfrac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}:\left(\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}-\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}\right);

b)Chứng minh rằng với x>0x\not = 1, giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc biến \dfrac{(1-x)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}\cdot\left(\dfrac{2+\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right).

Bài 2.

a)Giải phương trình x(x+1)(x+2)(x+3)=3;

b)Giải hệ phương trình

\begin{cases}x+y=2(x-2)(y+1)+1\\ -3x+2y=(x-2)(y+1)-8.\end{cases}

Bài 3.

a)Chứng minh rằng ba đường thẳng sau không đồng quy

y=3x+7(d_1);y=-2x-3(d_2);y=2x-7(d_3);

b)Chứng minh rằng khi m thay đổi các đường thẳng (m+1)x-y-m-3=0 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm này.

Bài 4.

Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d không cắt đường tròn. Lấy điểm M trên d, kẻ hai tiếp tuyến MAMB tới đường tròn, OM cắt AB tại H.

a)Chứng minh rằng OH\cdot OM=R^2;

b)Gọi góc AMB bằng \alpha, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác AMB theo R\alpha;

c)Chứng minh rằng khi M chạy trên d thì H chạy trên một đường tròn cố định.

Bài 5.

Chứng minh rằng với mỗi m ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm

x^2+(m-1)x+2m^2=0x^2+4mx-m+2=0.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trường THPT chuyên Hạ Long, môn Toán chuyên, năm học 2009-2010


Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.

Cho phương trình x^2-2(m+2)x+6m+1=0 với x là ẩn số và m là tham số.

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 2.

a)Cho a,b là các số dương thoả mãn a-\sqrt{ab}-6b=0. Tính giá trị của biểu thức P=\dfrac{a+b}{a+\sqrt{ab}+b};

b)Giải hệ phương trình \begin{cases}x^2-3y=2\\9y^2-8x=8.\end{cases}

Bài 3.

Cho các số thực a,b thoả mãn a+b\not =0. Chứng minh rằng

a^2+b^2+\left(\dfrac{1+ab}{a+b}\right)^2\geq 2.

Bài 4.

Cho hai đường tròn (O)(O') cắt nhau tại AB. Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt (O') tại D sao cho A nằm giữa CD. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O') tại D cắt nhau tại E.

a)Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp;

b)Chứng minh BE\cdot DC=CB\cdot ED+BD\cdot CE.

Bài 5.

Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy M, trên tia đối của tia CA lấy N sao cho BM=CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.

Một vài chứng minh của định lý Steiner-Lehmus


Hôm trước trên các lớp C1 và T có gặp bài toán:

Kiểm tra mệnh đề sau đúng hay sai “Nếu một tam giác có hai đường cao bằng nhau thì nó là tam giác cân”. Sau đó tôi có hỏi là thay hai đường cao bằng hai phân giác trong, trung tuyến,… thì sao? Chỉ có câu hỏi liên quan đến phân giác trong là khó. Câu trả lời là khẳng định, nếu một tam giác có hai phân giác trong bằng nhau thì nó là tam giác cân. Đây là nội dung của định lý Steiner-Lehmus, có khoảng 80 chứng minh cho kết quả này, nhưng không có phép chứng minh “trực tiếp”.

Trong post này tôi sẽ giới thiệu một vài chứng minh và một ít tài liệu tham khảo để các bạn quan tâm có điều kiện tìm hiểu thêm về định lý này.

Chứng minh Lượng giác

Những chứng minh này chỉ dùng định lý sin, và một chút kiến thức về các hàm lượng giác.

Hajja, Chau, Gal và Sandor

Chứng minh Hình học

Tất cả các chứng minh dưới đây các học sinh lớp 9 đều có thể hiểu được.

Yiu, Khitan, Cooke, và một cách chứng minh trong Geometry Revisited (tìm  ở mục “Sách” trên blog).

—–

Nếu có gì thắc mắc các bạn có thể post một comment ngay trong topic này. Chúc các bạn học sinh một năm học có nhiều thành công.

Bài tập Hình học ôn thi vào 10


1. Cho tam giác ABC với ba góc nhọn và AB<AC. Đường tròn đường kính BC cắt AB,AC theo thứ tự tại EF. Biết BF cắt CE tại HAH cắt BC tại D.

a)Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC;

b)Chứng minh AE\cdot AB=AF\cdot AC;

c)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCK là trung điểm của BC. Tính tỉ số \dfrac{OK}{BC} khi tứ giác BHOC nội tiếp;

d)Cho HF=3cm, HB=4cm, CE=8cmHC>HE. Tính HC.

2. Cho tam giác ABC vuông cân có AB=AC=1(đơn vị độ dài). Trên tia AC lấy điểm D, trên tia AB lấy một điểm E sao cho AD=AE=BC.

a)Tính chu vi và diện tích của tứ giác BCDE;

b)Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn.

3. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua O và hai tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn (O), ở đây A,B là các tiếp điểm và C nằm giữa MD.

a)Chứng minh MA^2=MC\cdot MD;

b)Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 5 điểm M,A,O,I,B nằm trên một đường tròn;

c)Gọi H là giao điểm của ABMO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp. Suy ra AB là phân giác của góc CHD;

d)Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C,D của (O). Chứng minh A,B,K thẳng hàng.

4. Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB, điểm I nằm giữa hai điểm AO. Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại I, đường thẳng này cắt (O;R) tại M,N. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BMAN. Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt các đường ABAM lần lượt ở KH. Chứng minh rằng

a)SKAM nội tiếp và HS\cdot HK=HA\cdot HM;

b)KM là tiếp tuyến của (O;R);

c)H,N,B thẳng hàng.

5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên (O) lấy điểm C khác A,B sao cho CA>CB. Các tiếp tuyến của (O) tại A,C cắt nhau ở D, kẻ CH vuông góc với AB(H\in AB), DO cắt AC tại E.

a)Chứng minh OECH nội tiếp;

b)Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh

2\widehat{BCF}+\widehat{CFB}=90^0;

c)BD cắt CH tại M. Chứng minh EM||AB.

6. Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2RE là điểm bất kì trên đường tròn đó khác AB. Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt (O) tại điểm thứ hai K khác A.

a)Chứng minh \Delta KAF\thicksim\Delta KEA;

b)Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE. Chứng minh rằng đường tròn (I;IE) tiếp xúc với (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F;

c)Gọi M,N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE,BE với (I;IE). Chứng minh rằng MN||AB;

d)Gọi P là giao điểm của NFAK; Q là giao điểm của MFBK. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi \Delta KPQ theo R khi E chuyển động trên (O) nhưng khác AB.

7. Cho C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB khác A,B. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB, kẻ hai tia AxBy cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I khác A. Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.

a)Chứng minh rằng CPKB nội tiếp. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp nó;

b)Chứng minh rằng AI\cdot BK=AC\cdot CB\Delta APB vuông;

c)Cho A,B,I cố định. Tìm vị trí của C sao cho diện tích tứ giác ABKI đạt giá trị lớn nhất.

8. Cho đường tròn (O) đường kính AB=6cm. Gọi H là điểm nằm giữa A,B sao cho AH=1cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt (O) tại C,D. Hai đường thẳng BCDA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB(N\in AB).

a)Chứng minh rằng MNAC nội tiếp;

b)Tính CHtg\widehat{ABC};

c)Chứng minh NC là tiếp tuyến của (O);

d)Tiếp tuyến tại A của (O) cắt NCE. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của CH.

9. Cho \Delta ABC vuông tại A. Lấy điểm M trong đoạn AC, vẽ đường tròn đường kính MC. Gọi D,I,S lần lượt là giao điểm thứ hai của BM,BC,AD với đường tròn này.

a)Tính \widehat{BDC};

b)Chứng minh ABCD nội tiếp;

c)Chứng minh \Delta MSI cân tại M.

10. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định, đường kính CD di động sao cho hai đường thẳng AB,CD không trùng nhau. Tiếp tuyến của (O) tại B cắt các đường thẳng ACAD lần lượt tại EF.

a)Chứng minh BE\cdot BF=4R^2;

b)Chứng minh CEFD nội tiếp;

c)Gọi I là trung điểm của EFK là giao điểm của AICD. Chứng minh rằng khi CD di động thì K chạy trên một đường cố định.

11. Cho \Delta ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R). Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD,BE,CF của \Delta ABCS là diện tích của nó.

a)Chứng minh AEHF,AEDB nội tiếp;

b)Vẽ đường kính AK của (O). Chứng minh \Delta ABD\thicksim \Delta AKC. Suy ra AB\cdot AC=2R\cdot ADS=\dfrac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R};

c)Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EFDM nội tiếp;

d)Chứng minh OC vuông góc với DER\cdot (DE+EF+FD)=2S.

12. Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB=14,BC=50. Đường phân giác của góc ABC và đường trung trực của cạnh AC cắt nhau tại E.

a)Chứng minh ABCE nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn này;

b)Tính BE;

c)Vẽ đường kính EF của (O). AEBF cắt nhau tại P. Chứng minh các đường thẳng BE,PO,AF đồng quy;

d)Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài ngũ giác ABFCE.

13. Cho (O;R), đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau sao cho CA<CB. Hai tia BCDA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H, EH cắt CAF. Chứng minh rằng

a)CDFE nội tiếp;

b)B,D,F thẳng hàng;

c)HC là tiếp tuyến của (O).

14. Cho tam giác ABC không cân có các góc đều nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Các đường cao BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. CO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai D.

a)Chứng minh BFEC nội tiếp;

b)Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm H,M,D thẳng hàng;

c)Giả sử \widehat{ACB}=60^0. Chứng minh CH=OC.

15. Cho đường tròn (O) có đường kính AB=2R. Trên tia đối của BA lấy C sao cho BC=R, trên đường tròn lấy D sao cho BD=R, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt AD tại M.

a)Chứng minh BCMD nội tiếp;

b)Chứng minh \Delta ABM cân;

c)Tính AM\cdot AD theo R;

d)Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai phần. Tính diện tích phần của tam giác ABM nằm ngoài (O).

16. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB=2R. Hạ BNDM cùng vuông góc với AC.

a)Chứng minh CBMD nội tiếp;

b)Chứng minh DB\cdot DC=DN\cdot AC;

c)Xác định vị trí của D để diện tích hình bình hành ABCD lớn nhất, tính giá trị lớn nhất đó.

17. Cho \Delta ABC nội tiếp (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn CI khác CI. Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại Q và cắt DC tại P.

a)Chứng minh DM\cdot AI=MP\cdot IB;

b)Tính tỉ số \dfrac{MP}{MQ}.

18. Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K(K nằm giữa AO). Lấy điểm E trên cung nhỏ CD khác C,D; AE cắt BD tại H.

a)Chứng minh \Delta CBD cân và CEHK nội tiếp;

b)Chứng minh AD^2=AH\cdot AE;

c)Cho BD=24cm,BC=20cm. Tính chu vi của (O);

d)Cho \widehat{BCD}=\alpha. Trên mặt phẳng bờ BC không chứa A, vẽ \Delta MBC cân tại M. Tính \widehat{MBC} theo \alpha để M\in (O).

19. Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường tròn (O) đi qua B,C cắt các cạnh AB,AC tại D,E(BC không là đường kính của (O)). Đường cao AH của \Delta ABC cắt DE tại K.

a)Chứng minh \widehat{ADE}=\widehat{ACB};

b)Chứng minh K là trung điểm của DE;

c)Trường hợp K là trung điểm của AH. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH.

20. Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài nó. Đường tròn đường kính AO cắt (O;R) tại MN. Đường thẳng d qua A cắt (O;R) tại B,C(d không qua O; B nằm giữa A,C). Gọi H là trung điểm của BC.

a)Chứng minh AM là tiếp tuyến của (O;R)H thuộc đường tròn đường kính AO;

b)Đường thẳng qua B vuông góc với OM cắt MND. Chứng minh \widehat{AHN}=\widehat{BDN}, DH||MCHB+HD>CD.

21. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định và CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt các đường thẳng AC,AD tại E,F.

a)Chứng minh BE\cdot BF=4R^2;

b)Chứng minh CEFD nội tiếp;

c)Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh I nằm trên một đường thẳng cố định.

22. Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia AxBy cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P khác I.

a)Chứng minh CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn này;

b)Chứng minh \widehat{CIP}=\widehat{PBK};

c)Giả sử A,B,I cố định. Hãy xác định vị trí của C sao cho diện tích ABKI lớn nhất.

23. Cho đường tròn tâm O có các đường kính MN,PQ($PQ$ không trùng với MN).

a)Chứng minh MPNQ là hình chữ nhật;

b)Các tia NP,NQ cắt tiếp tuyến tại M của (O) tại E,F.

i)Chứng minh E,F,P,Q cùng thuộc một đường tròn;

ii)Khi MN cố định, PQ thay đổi. Tìm vị trí của E,F khi diện tích tam giác NEF đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp diện tích trong Hình học


Mấy ngày nay trên MS đang có topic thảo luận về “Phương pháp diện tích”. Đây là một bài giảng về phương pháp đó, cuối bài giảng có khá nhiều bài tập. Các anh em download về làm tài liệu phục vụ thảo luận, tôi không muốn post trực tiếp lên MS vì quá nhiều file sẽ làm nặng MS.