USAJMO 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho \triangle ABC cân tại A nội tiếp đường tròn \omega. Gọi P là một điểm di động trên cung \stackrel{\frown}{BC} không chứa A, I_BI_C là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác \triangle ABP\triangle ACP tương ứng. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của \triangle PI_BI_C đi qua một điểm cố định.

Bài 2. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n < 10^6 sao cho 5^n6 chữ số 0 liên tiếp trong biểu diễn thập phân của nó.

Bài 3. Cho X_1, X_2, \ldots, X_{100} là dãy các tập con phân biệt khác rỗng của một tập S sao cho X_i\cap X_{i+1}=\emptysetX_i\cup X_{i+1}\neq S với mỗi i\in\{1, \ldots, 99\}. Tìm giá trị nhỏ nhất của |S|. Continue reading “USAJMO 2016”