China National Olympiad 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Xét các số nguyên dương a_1,a_2,\cdots, a_{31} ;b_1,b_2, \cdots, b_{31} thỏa mãn

a_1< a_2<\cdots< a_{31}\leq2015,\quad b_1< b_2<\cdots<b_{31}\leq2015a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{31}-b_{31}|.

Bài 2. Cho \triangle AEF, gọi BD nằm trên các đoạn AEAF tương ứng, và cho ED cắt FB tại C. Lấy K,L,M,N trên các đoạn AB,BC,CD,DA tương ứng sao cho \dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AD}{BC},.... Đường tròn nội tiếp của \triangle AEF tiếp xúc với AE,AF tại S,T tương ứng, đường tròn nội tiếp của \triangle CEF tiếp xúc với CE,CF tại U,V tương ứng. Chứng minh rằng nếu K,L,M,N cùng nằm trên một đường tròn thì S,T,U,V cũng thế.

Bài 3. Cho số nguyên tố lẻ p và các số nguyên a_1, a_2,...,a_p. Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương

1) Tồn tại đa thức P(x) bậc \leq \dfrac{p-1}{2} sao cho

P(i) \equiv a_i \pmod p\quad\forall i=1,2,\ldots,p.

2) Với mỗi số nguyên dương d \leq \dfrac{p-1}{2},

\sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p

ở đây chỉ số được mở rộng theo \pmod p. Continue reading “China National Olympiad 2016”

China Team Selection Test 2016 (3)


Đây là phần cuối, mời các bạn xem 2 phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/11/topic-771/https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 13. Cho số nguyên n lớn hơn 1, \alpha là số thực thỏa mãn 0<\alpha < 2, a_1,\ldots ,a_n,c_1,\ldots ,c_n là các số nguyên dương. Với y>0, đặt f(y)=\left(\sum_{a_i\le y} c_ia_i^2\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{a_i>y} c_ia_i^{\alpha} \right)^{\frac{1}{\alpha}}. Với số dương x thỏa mãn x\ge f(y) (với y nào đấy), chứng minh f(x)\le 8^{\frac{1}{\alpha}}\cdot x.

Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ, những điểm với cả hai tọa độ là số hữu tỷ sẽ được gọi là các điểm hữu tỷ. Với mỗi số nguyên dương n, liệu có thể dùng n màu để tô tất cả các điểm hữu tỷ (mỗi điểm tô bởi 1 màu) sao cho mỗi đoạn với các đầu mút là các điểm hữu tỷ chứa các điểm hữu tỷ mang mỗi màu?

Bài 15. Cho tứ giác nội tiếp ABCDAB>BC, AD>DC, I,J là tâm nội tiếp của \triangle ABC,\triangle ADC tương ứng. Đường tròn đường kính AC cắt đoạn IB tại X, và phần kéo dài của JD tại Y. Chứng minh nếu B,I,J,D cùng nằm trên một đường tròn thì XY đối xứng với nhau qua AC. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (3)”

China Team Selection Test 2016 (2)


Mời các bạn xem phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 7. Cho P là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC. D,E,F là các điểm đối xứng với P qua BC,CA,AB tương ứng. Các tia AP,BP,CP cắt lại đường tròn ngoại tiếp \triangle ABC tại L,M,N tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của \triangle PDL,\triangle PEM,\triangle PFN cùng đi qua một điểm T khác P.

Bài 8. Tìm số thực dương \lambda nhỏ nhất sao cho với mỗi 12 điểm P_1,P_2,\ldots,P_{12} trên mặt phẳng, nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không vượt quá 1 thì \displaystyle\sum_{1\le i<j\le 12} |P_iP_j|^2\le \lambda.

Bài 9. Cho P là một tập hữu hạn gồm các số nguyên tố, A là một tập vô hạn gồm các số nguyên dương sao cho mọi phần tử của A có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P. Chứng minh rằng tồn tại tập con vô hạn B của A thỏa mãn tổng của các phần tử trong mỗi tập con hữu hạn của B có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong P. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (2)”