Tính rời rạc của tập số nguyên (2)


Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2016/12/15/topic-845/

Bài 8. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=2.

Bài 9. Cho x,yn là các số nguyên dương thỏa mãn \dfrac{xy}{x+y}>n. Chứng minh rằng \dfrac{xy}{x+y}\geq n+\dfrac{1}{n^2+2n+2}.

Bài 10. Cho a,bc là các số nguyên dương thỏa mãn ab chia hết c(c^{2}-c+1)a+b chia hết cho c^{2}+1. Chứng minh rằng \{a,b\}=\{c,c^{2}-c+1\}.

Bài 11. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình

1/. 3(xy+yz+zx)=4xyz;

2/. xy+yz+zx-xyz=2;

3/. (x+y)^2+3x+y+1=z^2;

4/. x^2+y^2+z^2+w^2=3(x+y+z+w).

Bài 12. Tìm nghiệm nguyên của phương trình (x+1)^4-(x-1)^4=y^3.

Bài 13. Cho các số nguyên a\in\{3,4,5\}, b\in\{4,5,\cdots,12\}c\in\{1,2,\cdots,8\}. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

x^6+ax^4+bx^2+c=y^3.

Continue reading “Tính rời rạc của tập số nguyên (2)”

IMC training 2016 (1)


The arithmetic of integers

Problem 1. The positive integers from 1 to 12 have been divided into six pairs so that the sum of the two numbers in each pair is a distinct prime number. Find the largest of these prime number.

Problem 2. The sum of the squares of three prime numbers is 5070. Find the product of these three prime numbers.

Problem 3. A number is said to be strange if in its prime factorization, the power of each prime number is odd. For istance, 22,23 and 24 form a block of three consecutive strange numbers because 22={{2}^{1}}\times {{11}^{1}},23={{23}^{1}},24={{2}^{3}}\times {{3}^{1}}. Find the greatest length of a block of consecutive strange numbers.

Problem 4. Find the number of consecutive 0s at the end of 2003!=1\times 2\times 3\times ...\times 2003.

Problem 5. Find the smallest positive integer which is 2 times the square of some positive integer and also 5 times the fifth power of some other positive integer.

Problem 6. Sum of seven consecutive positive integer is the cube of an integer and the sum of the middle three numbers is the square of an integer. Find the smallest possible value of the middle number.

Problem 7. Some factors in the product 1\times 2\times 3\times 4\times ...\times 27 are to be removed so that the product of the remaining factors is the square of an integer. Find the minimum number of factors that must be removed. Continue reading “IMC training 2016 (1)”

USAMO 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho X_1, X_2, \ldots, X_{100} là dãy các tập con phân biệt khác rỗng của một tập S sao cho X_i\cap X_{i+1}=\emptysetX_i\cup X_{i+1}\neq S với mỗi i\in\{1, \ldots, 99\}. Tìm giá trị nhỏ nhất của |S|.

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương k, số \displaystyle (k^2)!\cdot\displaystyle\prod_{j=0}^{k-1}\frac{j!}{(j+k)!} là một số nguyên.

Bài 3. Cho \triangle ABC nhọn với I_B, I_C,O là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh B, tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh C, và tâm đường tròn ngoại tiếp tương ứng. Các điểm EY được lấy trên AC sao cho \angle ABY=\angle CBYBE\perp AC. Các điểm FZ được lấy trên AB sao cho \angle ACZ=\angle BCZCF\perp AB. Các đường thẳng I_BFI_CE cắt nhau tại P. Chứng minh rằng PO\bot YZ. Continue reading “USAMO 2016”