## Tính rời rạc của tập số nguyên (2)

Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2016/12/15/topic-845/

Bài 8. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

$\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=2.$

Bài 9. Cho $x,y$$n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\dfrac{xy}{x+y}>n$. Chứng minh rằng $\dfrac{xy}{x+y}\geq n+\dfrac{1}{n^2+2n+2}.$

Bài 10. Cho $a,b$$c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $ab$ chia hết $c(c^{2}-c+1)$$a+b$ chia hết cho $c^{2}+1$. Chứng minh rằng $\{a,b\}=\{c,c^{2}-c+1\}$.

Bài 11. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình

1/. $3(xy+yz+zx)=4xyz$;

2/. $xy+yz+zx-xyz=2$;

3/. $(x+y)^2+3x+y+1=z^2$;

4/. $x^2+y^2+z^2+w^2=3(x+y+z+w)$.

Bài 12. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x+1)^4-(x-1)^4=y^3.$

Bài 13. Cho các số nguyên $a\in\{3,4,5\}$, $b\in\{4,5,\cdots,12\}$$c\in\{1,2,\cdots,8\}$. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

$x^6+ax^4+bx^2+c=y^3.$

## IMC training 2016 (1)

The arithmetic of integers

Problem 1. The positive integers from 1 to 12 have been divided into six pairs so that the sum of the two numbers in each pair is a distinct prime number. Find the largest of these prime number.

Problem 2. The sum of the squares of three prime numbers is 5070. Find the product of these three prime numbers.

Problem 3. A number is said to be strange if in its prime factorization, the power of each prime number is odd. For istance, 22,23 and 24 form a block of three consecutive strange numbers because $22={{2}^{1}}\times {{11}^{1}},23={{23}^{1}},24={{2}^{3}}\times {{3}^{1}}$. Find the greatest length of a block of consecutive strange numbers.

Problem 4. Find the number of consecutive 0s at the end of $2003!=1\times 2\times 3\times ...\times 2003.$

Problem 5. Find the smallest positive integer which is $2$ times the square of some positive integer and also $5$ times the fifth power of some other positive integer.

Problem 6. Sum of seven consecutive positive integer is the cube of an integer and the sum of the middle three numbers is the square of an integer. Find the smallest possible value of the middle number.

Problem 7. Some factors in the product $1\times 2\times 3\times 4\times ...\times 27$ are to be removed so that the product of the remaining factors is the square of an integer. Find the minimum number of factors that must be removed. Continue reading “IMC training 2016 (1)”

## USAMO 2016

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ là dãy các tập con phân biệt khác rỗng của một tập $S$ sao cho $X_i\cap X_{i+1}=\emptyset$$X_i\cup X_{i+1}\neq S$ với mỗi $i\in\{1, \ldots, 99\}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|S|$.

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$, số $\displaystyle (k^2)!\cdot\displaystyle\prod_{j=0}^{k-1}\frac{j!}{(j+k)!}$ là một số nguyên.

Bài 3. Cho $\triangle ABC$ nhọn với $I_B, I_C,$$O$ là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh $B$, tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh $C$, và tâm đường tròn ngoại tiếp tương ứng. Các điểm $E$$Y$ được lấy trên $AC$ sao cho $\angle ABY=\angle CBY$$BE\perp AC$. Các điểm $F$$Z$ được lấy trên $AB$ sao cho $\angle ACZ=\angle BCZ$$CF\perp AB$. Các đường thẳng $I_BF$$I_CE$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng $PO\bot YZ$. Continue reading “USAMO 2016”