## IMC training 2016 (1)

The arithmetic of integers

Problem 1. The positive integers from 1 to 12 have been divided into six pairs so that the sum of the two numbers in each pair is a distinct prime number. Find the largest of these prime number.

Problem 2. The sum of the squares of three prime numbers is 5070. Find the product of these three prime numbers.

Problem 3. A number is said to be strange if in its prime factorization, the power of each prime number is odd. For istance, 22,23 and 24 form a block of three consecutive strange numbers because $22={{2}^{1}}\times {{11}^{1}},23={{23}^{1}},24={{2}^{3}}\times {{3}^{1}}$. Find the greatest length of a block of consecutive strange numbers.

Problem 4. Find the number of consecutive 0s at the end of $2003!=1\times 2\times 3\times ...\times 2003.$

Problem 5. Find the smallest positive integer which is $2$ times the square of some positive integer and also $5$ times the fifth power of some other positive integer.

Problem 6. Sum of seven consecutive positive integer is the cube of an integer and the sum of the middle three numbers is the square of an integer. Find the smallest possible value of the middle number.

Problem 7. Some factors in the product $1\times 2\times 3\times 4\times ...\times 27$ are to be removed so that the product of the remaining factors is the square of an integer. Find the minimum number of factors that must be removed. Continue reading “IMC training 2016 (1)”

## China Team Selection Test 2016 (2)

Mời các bạn xem phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 7. Cho $P$ là một điểm nằm trong tam giác nhọn $ABC$. $D,E,F$ là các điểm đối xứng với $P$ qua $BC,CA,AB$ tương ứng. Các tia $AP,BP,CP$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ tại $L,M,N$ tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của $\triangle PDL,\triangle PEM,\triangle PFN$ cùng đi qua một điểm $T$ khác $P$.

Bài 8. Tìm số thực dương $\lambda$ nhỏ nhất sao cho với mỗi $12$ điểm $P_1,P_2,\ldots,P_{12}$ trên mặt phẳng, nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không vượt quá $1$ thì $\displaystyle\sum_{1\le i.

Bài 9. Cho $P$ là một tập hữu hạn gồm các số nguyên tố, $A$ là một tập vô hạn gồm các số nguyên dương sao cho mọi phần tử của $A$ có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong $P$. Chứng minh rằng tồn tại tập con vô hạn $B$ của $A$ thỏa mãn tổng của các phần tử trong mỗi tập con hữu hạn của $B$ có ít nhất một ước nguyên tố không nằm trong $P$. Continue reading “China Team Selection Test 2016 (2)”

## Các trường hợp đặc biệt của định lý Dirichlet về cấp số cộng

Ta biết là có định lý sau đây

Định lý Dirichlet. Cho hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $a$$d$. Khi đó có vô hạn các số nguyên tố có dạng $a+dk$ ($k$ là số tự nhiên.)

Trong topic này tôi giới thiệu một bài viết có chứng minh của các trường hợp đặc biệt của định lý trên:

$a=1,d=4;a=1,d=6;a=1,d=8$$a=1, d$ bất kỳ. Continue reading “Các trường hợp đặc biệt của định lý Dirichlet về cấp số cộng”