Schur’s inequality (2)


Part 1

Bài 1. Cho các số thực dương a,bc thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

2(a^2+b^2+c^2)+12\geq 3(a+b+c)+3(ab+bc+ca).

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực không âm a,bc ta có

(a^4+b^4+c^4)(ab+bc+ca)\geq (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).

Bài 3. Cho ba số thực dương a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\sum\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2(a+b+c)}\geq 2.

Bài 4. Cho các số thực không âm thỏa mãn ab+bc+ca+abc=4. Chứng minh rằng 3(a^2+b^2+c^2)+abc\geq 10.

Bài 5. (USA TST 2002)

Chứng minh rằng với mỗi tam giác ABC ta có

\displaystyle\sum\sin\dfrac{3A}{2}\leq\sum\cos\dfrac{A-B}{2}.

Bài 6. Cho các số thực không âm a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\dfrac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq\max \{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\}.

Bài 7. (USA MO 2003)

Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a,bc ta có

\sum\dfrac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8. Continue reading “Schur’s inequality (2)”

Schur’s inequality (1)


See here.

Bài 1. (IMO 1984) Cho x,yz là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng 0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}.

Bài 2. (IMO 2000) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

\displaystyle\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leq 1.

Bài 4. (AoPS)  Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thì

a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca).

Bài 5. (Crux Math) Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a,bc ta có \displaystyle\sum\dfrac{1}{a}\geq\sum\dfrac{b+c}{a^2+bc}.

Bài 6. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\sum\sqrt[3]{\dfrac{a^2+bc}{b^2+c^2}}\geq\dfrac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}. Continue reading “Schur’s inequality (1)”