1. Các đường tròn
và
cắt nhau tại hai điểm
và
. Một đường thẳng qua
cắt
và
tại các điểm
and
tương ứng. Đường thẳng qua
khác cắt
và
tại các điểm
and
tương ứng. Đường thẳng
cắt
và
tại các điểm
and
tương ứng. Cho
và
là trung điểm của các cung nhỏ
và
. Chứng minh rằng nếu
, thì
,
,
,
đồng viên.
2. Cho
là một số nguyên. Dãy
được xác định như sau:
, và với mỗi
,
, nếu
;
, nếu
. Chứng minh rằng dãy
chứa vô hạn số nguyên tố.
3.
,
và
là các số phức thoả mãn với mỗi số phức
, nếu
, thì
. Tìm giá trị lớn nhất của
.
4.
và
là các số nguyên cho trước lớn hơn
.
là các số nguyên cho trước. Chứng minh rằng tồn tại một tập con của
ký hiệu bởi
, sao cho
và với mỗi
, tồn tại
và
thoả mãn
.
5. Ta có thể di chuyển các tấm thẻ tại các điểm
và điểm
. Một bước di chuyển có thể thực hiện như sau:
(1) Nếu có ít nhất
tấm thẻ tại điểm
(
), thì lấy
tấm thẻ từ
và đặt chúng vào các điểm
,
và
, tương ứng. 
(2) Nếu có ít nhất
tấm thể tại
, thì lấy
tấm thẻ từ điểm
và đặt chúng vào các điểm
, tương ứng.
Chứng minh rằng nếu có không ít hơn
tấm thể trên toàn bộ
điểm, thì ta có thể thực hiện một số hữu hạn các di chuyển trên để có không ít hơn
tấm thẻ tại mỗi điểm.
6. Cho
là các số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho với mỗi số nguyên dương
,

Chứng minh rằng có số nguyên dương
sao cho
với
.